 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Случайные меры
|
|
13.1. Напомним определение 
- конечной меры.
Определение. Мера 
называется s - конечной, если для любого замкнутого ограниченного множества 
существует последовательность множеств 
, где 
, такая, что: a) 
при 
, б) 
.
Определение. Мера 
называется случайной и обозначается 
, где 
, если:
а) при фиксированных w и A как функция t является случайным процессом, б) при фиксированных w и t s - конечная мера, в) 
для 
.
Пусть 
- измеримая функция такая, что определён интеграл Лебега 
обозначаемый 
.
Обозначим 
.
Определение. Случайная мера m называется опциональной (предсказуемой), если для любой неотрицательной 
- измеримой функции Х процесс 
является опциональным (предсказуемым).
13.2. Обозначим 
.
Определение. Меру 
назовем мерой Долиан, если 
.
Отсюда следует, что для всякой неотрицательной 
- измеримой функции X(w, t, x) определен интеграл по мере Долиан:
.
Определение. Мера Долиан 
называется конечной, если 
. Определение. Будем говорить, что опциональная случайная мера m принадлежит классу 
(пишем 
), если .
Определение. Mepa Долиан называется - s-конечной, если существует последовательность множеств 
таких, что 
, где 
, и 
для 
.
Определение. Будем говорить, что опциональная случайная мера 
принадлежит классу 
(пишем 
) если , где и .
Очевидно следующее утверждение.
Теорема 42. 
.
13.3. Определение. Будем говорить, что случайные меры и 
совпадают Р - п. н. (пишем 
), если для любой неотрицательной 
- измеримой функции Х 
.
Из этого определения следует утверждение.
Предложение 43, Пусть и - опциональные случайные меры такие, что:
а) для любой - измеримой X; б) хотя бы одна из них принадлежит 
. Тогда .
13.4. Определение. Компенсатором опциональной случайной меры 
называется предсказуемая мера 
(т. е. 
) такая, что для любой неотрицательной, 
- измеримой функции Х(
, t, х) 
.
Теорема 44. У всякой опциональной случайной меры существует и притом единственный компенсатор , т. е. (с точностью до нулевой меры Р). (Доказательство следует из теоремы Дуба - Мейера).
13.5. Определение. Случайная мера называется целочисленной, если:
1) 
для всех 
и 
;
2) для 
принимает значения в 
;
3) для фиксированных 
- - конечная мера;
4) для фиксированных 
- опциональный процесс.
Следующая теорема вытекает из определения целочисленной случайной меры и теорем 13 и 23.
Теорема 45. Пусть - целочисленная случайная мера, тогда существует множество D и опциональный случайный процесс 
со значениями в Е такие, что 
, где 
- мера Дирака сосредоточенная в точке 
. Если 
- последовательность моментов остановки, исчерпывающая тонкое множество D, то для любой неотрицательной 
- измеримой функции справедливо равенство
Р - п. н.
Следствие 46. Пусть 
- опциональный процесс со значениями в Rd. Тогда формула 
определяет целочис-ленную случайнуюмеру на 
.
§14 Случайные меры и мультивариантные точечные процессы.
14.1. Пусть 
- m - вариантный точечный процесс, a
, 
- считающие процессы, где 
.
Пример. Пусть 
- случайный процесс определённый соотношением 
- пуассоновский случайный процесс с интенсивностью 
. Ясно, что процесс 
принимает два значения {-1, 1}, причём время пребывания в состоянии -1 или в состоянии 1 распределены экспонен-циально с параметром 
. Этот процесс имеет кусочно-постояные траектории и непрерывен справа, поэтому он опционален. Через 
обозначим число попаданий в состояние 1(-1) за время t процессом . Очевидно, что если 
для 
, то можно построить следующим образом:
,
.
Ясно также, что с помощью 
и 
можно описать процесс
,
так как 
. Легко показать, что для 
справедливо представление
,
причем 
- ограниченные мартингалы (относительно меры Р) 
для 
.
Приведённый выше пример служит основой для дальнейших построений.
14.2. Перейдем теперь к построению целочисленной случайной меры k - вариантного точечного процесса и её компенсатора.
В предыдущих параграфах мы установили связь между скачко-образными и мультивариантными точечными процессами. Итак, пусть - скачкообразный опциональный случайный процесс со значениями в Е, причём 
. В соответствии с результатами параграфа 13 для процесса 
определена целочисленная случайная мера 
, где - последовательность марковских моментов, исчерпывающая скачки процесса , 
. Очевидно, что при фиксированных 
это опциональный неубывающий процесс, т. е. 
при t ³ s. Стало быть, 
является субмартингалом и по теореме Дуба-Мейера существует компенсатор 
, т. е. 
является мартингалом относительно потока 
и меры Р. Предположим дополнительно, что имеет неслучайную матрицу интенсивности перехода 
. Тогда в силу теоремы 35 
допускает представление:
. (9)
Обозначим 
- число переходов процесс из состояния j в состояние i за время t. Ясно, что его можно представить в виде:
.
Найдём компенсатор 
- случайной меры . Сначала заметим, что
.
Отсюда, в силу (9), имеем:
. (16)
Заметим: 1) для Р - п. н.
;
2) так как 
- ограниченный предсказуемый процесс, то
стохастический интеграл 
является мартингалом. Поэтому процесс 
является компенсатором - целочисленной случайной меры относительно меры P.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 319 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
