Опр. и вычисление поверхностных интегралов 2-ого рода

Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их сразу на координатные плоскости

J = = (10)

Множитель означает, что вклады от разных участков G берутся с разными знаками.

Так как элемент поверхности dS и его проекция пропорциональны dxdy = cos dS, то от интеграла 2 рода легко перейти к интегралу 1 рода

= (11)

в который входит cos . Знак cos для элемента поверхности и определит знак вклада этого элемента в интегральную сумму (10). Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей.

При проектировании G на плоскости xOz, yOz получаем аналогичные интегралы и строим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

=

= (12)

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности

Если G задана явным уравнением z = z(x,y) и точки (х,у) образуют замкнутую область D, где сама функция и ее производные , непрерывны, то все члены интегральной суммы (10) имеют одинаковый знак и вычисление интеграла (11) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

J = = (13)

Замена z на z(x,y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.

Необходимо только заранее определить острый или тупой угол с осью Oz образуют нормальные вектора выбранной стороны поверхности. Если угол тупой, то у интеграла меняют знак. Если поверхность G замкнута, то она разделяется на несколько кусочно- ориентированных поверхностей.

36. Вывод Формулы Остроградского – Гаусса.

Тройной интеграл после вычисления первого внутреннего интеграла превращается в двойной интеграл, который можно выразить через поверхностный.

Имеем тело ограниченное гладкими поверхностями: G₁ – низ,

z = z₀(x,y); G₂ – верх, z = Z(x,y); G₃ -цилиндрическая боковая поверхность по границе области D на плоскости хОу. В этом объеме V определена функция R(x,y,z), причем, функция и ее производные непрерывны. Рассмотрим интеграл

J= - - = J₁ – J₂

По формуле (13) интеграл J₁ сводится к интегралу по внешней поверхности «верха» тела, а J₂ по внутренней поверхности «низа». При переходе на внешнюю сторону «низа» знак J₂ меняется. Учтем также, что аналогичный интеграл J₃ по боковой поверхности G₃ равен нулю, т.к. площадь ее проекции на плоскость хОу равна нулю. В итоге имеем

J = + +

где интегралы вычисляются по внешней стороне поверхности ограничивающей тело, или

(18)

Обобщение формулы (18) на случай тела произвольной формы приводит к формуле Остроградского – Гаусса

(19)

которая интеграл по объему заменяет на интеграл по внешней стороне поверхности ограничивающей тело.