 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Градиент скалярного поля
|
|
Структура выражения (21) совпадает со структурой скалярного произведения двух векторов 
и 
: 
= axbx + ayby + azbz, если величины 
U/ x, U/ y, U/ z понимать как координаты некоторого вектора. Этот вектор наз. градиентом скалярного поля U(M)
grad U = 
i + 
j + 
k (22)
Он упрощает запись производной с.п. по направлению и является важнейшей характеристикой скалярного поля
U/ 
= grad U = | grad U| l (23)
Опр. Производная с.п. по направлению равна скалярному произведению градиента поля на вектор направления, т.е.является проекцией градиента на выбранное направление
Определим угол 
между векторами grad U и
cos = 
= 
U/ = |grad U| cos
Повернем вектор в сторону вектора gradU. При их совпадении, когда = 0 и cos = 1, U/ принимает наибольшее значение.
Опр. Вектор grad U определяет направление наибольшего изменения с.п. в точке М и его модуль равен скорости этого изменения.
Опр. grad U является нормальным вектором к поверхности уровня U(x,y,z) = C, проходящей через точку М.
Это следует из общего уравнения касательной плоскости к поверхности U(x,y,z)=C в точке M0(x0, y0, z0):
( U/ x)|M (x – x0) + ( U/ y)|M (y – y0) + ( U/ z)|M(z – z0) = 0,
где нормальный вектор касательной плоскости определен в виде 
= { , , }, т.е. совпадает с вектором grad U
Пр.Дано с.п. U(M) = xy2 + z2. Найти наибольшее значение U/ в точке M(2;1;-1)
Решение:
grad U = y2 i + 2xy j +2z k, grad U|M = i + 4j – 2k,
U/ | наиб = |grad U|M = = 
= 
Для обозначения grad U также применяется дифференциальный оператор. Он наз. оператором Гамильтона или набла-опрератором
i + 
j + 
k grad U = 
U
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 322 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
