Примеры решения задач. Задача 2. 1. Какая из точек лежит на прямой 2x–y+4=0

Задача 2.1. Какая из точек лежит на прямой 2 x – y +4=0.

Решение: Подставим координаты точек в уравнение прямой:

т. , точка не принадлежит прямой;

т. т. принадлежит прямой;

т. , т. принадлежит прямой.

Задача 2.2. Вычислить угол между прямыми 6 x– 2 y +5=0 и 4 x +2 y –7=0, и найти точку пересечения .

Решение: Запишем уравнения прямых с угловым коэффициентом: 2 y =6 x +5, , , 4 x +2 y –7=0, , ,

.

Найдем точку пресечения прямых:

Сложим уравнения системы: , 10 x =2, .

Из 2-го уравнения системы: .

Координаты точки пересечения .

Ответ. , .

Задача 2.3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Решение: Используем уравнение пучка прямых (1.4):

где .

Из условия перпендикулярности (пункт 10):

Запишем данную прямую в виде (1.2)

, тогда ;

или .

Ответ. .

Задача 2.4. Дана прямая . Через точку провести прямую под углом к данной.

Решение: – уравнение данной прямой. Найдем ее угловой коэффициент (из пункта 3), (рис. 2.9).

Рис. 2.9

;

или ;

, тогда ; ;

или .

Ответ. , .

Задача 2.5. Дан треугольник с вершинами . Составить уравнение его сторон и найти длину высоты (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Решение: Уравнение стороны АВ:

или .

Уравнение стороны ВС имеет вид , т.к. ординаты точек В и С равны. Уравнение стороны АС имеет вид , т.к. абсциссы точек равны. Длину высоты найдем как расстояние т. С до прямой АВ:

.

Задача 2.6. Какие из уравнений являются нормальными в декартовой системе координат?

1. . 4. .

2. . 5. .

3. . 6. .

Решение: Нормальные уравнения 3, 5 и 6, так как для них и .