Прямая на плоскости

Основные теоретические сведения

1. Общее уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат

, (1.1)

А и В одновременно не равны нулю. Прямая перпендикулярна нормальному вектору (рис. 2.1).

2. Частные случаи для (1.1):

, (рис. 2.2).

Рис. 2.1

Рис. 2.2

, (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Рис. 2.4

, (рис. 2.4).

– прямая совпадает с осью Ох (абсцисс).

– прямая совпадает с осью Оу (ординат).

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

(1.2)

, – наименьший угол между положительным направлением оси Ох и прямой; b – отрезок, отсекаемый прямой от оси ординат (рис. 2.1).

Для прямой (1.1)

4. Уравнение прямой в отрезках

, (1.3)

а и b – абсцисса и ордината точек пересечения с осями Ох и Оу, т.е длины отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей с учетом знаков (рис. 2.5)

Рис. 2.5

Рис. 2.6

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

. (1.4)

Пучком прямых на плоскости называется вся совокупность прямых, проходящих через данную точку (центр пучка), все прямые отличаются значениями k (рис. 2.6).

6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки с координатами и (рис. 2.7)

. (1.5)

Рис. 2.7

Если прямая параллельна оси Ох () или оси Оу , то уравнение (1.5) примет вид или .

Если прямая проходит через точку или параллельно направляющему вектору , то уравнение примет вид

. (1.6)

Уравнение (1.6) называется каноническим уравнением прямой.

7. Нормальное уравнение прямой

, (1.7)

где p – расстояние от начала координат до прямой, – направляющие косинусы нормального вектора .

Уравнение (1.1) приводиться к виду (1.7) путем умножения на нормирующий множитель , знак выбирается обратным знаку свободного члена С в уравнении (1.1), т.е (sgn – сокращение от латинского signum – знак).

8. Расстояние от точки до прямой

. (1.8)

9. Угол между прямыми, заданными уравнениями вида (1.2):

, (1.9)

.

За принят угловой коэффициент той из прямых, которая, вращаясь вокруг точки пересечения прямых против часовой стрелки «заметает» угол (рис. 2.8).

Рис. 2.8

10. Взаимное расположение прямых на плоскости:

- прямые пересекаются или ;

- если пресекаются под прямым углом, то из формулы (1.9), следует

- прямые параллельны при ;

- прямые совпадают .