Дайте определение бифуркационной диаграмме. На качественном уровне рассмотрите бифуркационную диаграмму логистического отображения

Широко используемым способом исследования предхаотических или послехаотических изменений динамической системы при вариации ее параметров является построение бифуркационных диаграмм.

Под бифуркационной диаграммой подразумевают изображение на рисунке смены возможных динамических режимов системы (равновесных состояний, стационарных точек, периодических орбит и пр.) при изменении значения бифуркационного параметра. Одной из простейших задач является модель роста популяции, или логистическое уравнение

, . (1)

где х_n – реализация физической величины, r – управляющий параметр.

Бифуркационная диаграмма логистического отображения приведена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Бифуркационная диаграмма логистического отображения

На рисунке хорошо видны точки бифуркаций удвоений периода, где каждая ветвь дерева расщепляется на две. Когда параметр системы становится больше критического значения, в определенных диапазонах значений параметра движение становится хаотическим, соответствующие области выглядят как более или менее равномерно заполненные точками участки "кроны". Однако такие диапазоны могут иметь конечную ширину; другими словами, при изменении параметра могут встречаться окна периодического движения. В этом режиме периодические движения могут вновь проходить через бифуркации удвоения периода, вновь приводя к хаотическому движению.