Равномерное квантование

Одним из наиболее важных показателей цифровых систем передачи аналоговых сигналов является величина отношения мощности сигнала Pс мощности шума квантования Ршкв на выходе ЦАП.

Определим значение Ршкв Для произвольной шкалы квантования. Пусть сигнал с плотностью вероятности распределения мгновенных зна­чений во времени W (и) подвергается квантованию в диапазоне измене­ния мгновенных значений от – Uогр до +Uогр с шагом, величина кото­рого может изменяться. Напомним, что вероятность появления сигнала с уровнем, лежащим в пределах i-го шага квантования, равна

(12.6)

где W (и) – плотность вероятности для напряжения сигнала, находя­щегося в середине рассматриваемого интервала; i – шаг квантова­ния в диапазоне изменения мгновенных значений сигнала от иi – i /2 до иi + i /2. Мгновенная мощность шумов квантования, развивае­мая на сопротивлении в 1 Ом, равна квадрату ошибки квантования, т.е. Р ш кв = (и – иi)², а часть этой мощности шума, появляющейся при квантовании сигнала в пределах i-го шага, составляет

(12.7)

или с учетом выражения (12.6) имеем

(12.8)

Суммарная мощность шума квантования равна сумме составляющих от каждого шага:

(12.9)

При равномерной шкале квантова­ния, когда все Д, равны, из (12.9) имеем

Ршкв = /12 (12.10)

Отсюда следует важный вывод: при равномерном квантовании мощность шума квантования определяется ис­ключительно шагом квантования и не зависит от величины сигнала. По­этому при уменьшении уровня сиг­нала отношение мощности сигнала к мощности шума квантования снижа­ется.

Шум квантования представляет собой случайный процесс с равномер­ным распределением в пределах от /2 до + /2. Его плотность вероятности описывается выражением

W(x) = 1/ (12.11)

Спектр шума квантования равномерный в полосе частот 0... f д/2. Шум квантования появляется только при наличии сигнала. При отсут­ствии сигнала на входе АЦП можно было бы ожидать, что на выходе ЦАП шум будет полностью подавлен. Однако наличие теплового шума входных аналоговых блоков АЦП, нестабильность напряжения питания, переходные помехи от соседних каналов, дрейф постоянной составляю­щей в усилителях постоянного тока и действие других факторов приво­дят к тому, что самый низкий первый уровень квантования достигается даже при отсутствии ЗС на входе АЦП.

На рис. 12.6 изображен начальный участок шкалы квантования и показано, как входные шумы преобразуются в АЦП в квантованное ко­лебание. На выходе ЦАП это квантованное колебание превращается в шум, называемый шумом паузы. Шум паузы менее равномерный, чем белый шум, характерный для аналоговых систем. Его часто называют гранулированным. Мощность шума паузы Рш п ⁼ /4, т.е. на 4,7 дБ больше шума квантования (12.10).

Определим отношение сигнал/шум (С/Ш) на выходе квантующего устройства Поскольку величина Ршкв не зависит от уровня входно­го сигнала, то с увеличением мощности входного сигнала Рс отношение Рс/ Ршкв линейно растет до тех пор, пока не возникнет шум ограничения. Его появление резко уменьшает помехозащищенность сигнала. Поэтому система кодирования строится так, чтобы ограничения сигнала практи­чески не возникало. Для этого порог ограничения квантующего устрой­ства должен быть равен квазимаксимальному значению сигнала, т.е.

Uогр = Uс кв max = kUср (12.12)

Здесь k – значение пик-фактора сигнала; Uср – среднеквадратическое значение сигнала. Число шагов квантования п можно определить при известных величинах Uогр и по формуле

n = 2(|[ Uогр |/ )+1 2(|[ Uогр |/ ). (12.13)

Подставив (12.12) и (12.11) в (12.8), получим

(12.14)

Поскольку на сопротивлении 1 Ом мощность сигнала Рс ⁼ , то из (12.14) следует, что

Pc/Pш кв = 3 / , (12.15)

или в децибелах это выражение преобразуется к виду

Pc/Pш кв =201g(n/k)+4,8. (12.16)

При m-разрядном кодировании, учитывая, что п = , преобразуем (12.16) к виду

Рс/Ршкв=6m-201gk+4,8. (12.17)

Из (12.17) видно, что при равномерном квантовании в случае уве­личения числа разрядов т на единицу отношение С/Ш повышается на б дБ. В то же время, переход, например, от 14-разрядного кодового слова к 15-разрядному означает увеличение скорости передачи цифро­вого ИКМ-сигнала (Vпер = ) всего лишь на 7 %. Это свойство явля­ется важнейшей особенностью ИКМ с равномерным квантованием; ни один другой способ кодирования не позволяет так заметно улучшать помехозащищенность ЗС за счет сравнительно небольшого увеличения скорости передачи.

При равномерной шкале квантования и гармоническом сигнале, для которого, как известно, значение пик-фактора k = , отношение С/Ш квантования, дБ, на выходе квантующего устройства определяется со­отношением (12.17)

Рс/Ршкв=6m+1,8. (12.18)

Для сигнала ЗС значение пик-фактора зависит от жанра програм­мы (см. гл. 4) и меняется в пределах от 7 до 25 дБ. В среднем счи­тают, что он равен 12...15 дБ, поэтому для вещательных сигналов имеем [см. 12.17)]

Рс/Ршкв = 6m - 8,2. (12.19)

Заметим, что это выражение не учитывает неодинаковой чувстви­тельности слуха к составляющим шума разных частот, определяемой псофометрическим коэффициентом. С его учетом отношение Рс/Ршкв еще уменьшается на 8,5 дБ для широкополосного ЗС с полосой частот 15 кГц и составляет [см. (12.19)]

Рс/Ршкв=6m-16,7. (12.20)

Для избежания ограничения сигнала его квазипиковое значение не дол­жно превышать порога ограничения квантователя. Обычно его выбира­ют меньшим на величину = 6...10 дБ.

На рис. 12.7,а представлены зависимости отношения сигнал/шум (Рс/Ршкв, дБ) для сигналов 3В при разных значениях т от относи­тельного изменения уровня сигнала на входе. Здесь по оси абсцисс отложена разность между входным уровнем Nс и его квазимаксималь­ным значением Nсквтаx дБ. Результаты очевидны [см. (12.20)] и не требуют пояснения.

Выражение для отношения С/Ш определяет в конечном итоге зна­чение максимального динамического диапазона ЗС, который может быть передан по цифровому каналу без появления искажений. На прак­тике в трактах формирования программ звукозаписи обычно использу­ется 16-разрядное равномерное квантование. При разрядности т кодо­вого слова, равной 16 битам (размер кодового слова системы компакт-диска) формула (12.18) дает нам значение 97,8 дБ. Однако отсюда сле­дует вычесть величину приблизительно равную 1,5...2,0 дБ, определя­ющую дополнительные погрешности, свойственные аналого-цифровому и цифро-аналоговому преобразованиям. Далее в соответствии с Реко­мендацией СС1К эту величину с учетом пик-фактора следует уменьшить еще на 12 дБ (при пересчете уровня мощности шумов квантования в величину, соответствующую получаемой при измерении). Для защи­ты канала от возможного превышения максимального уровня это зна­чение уменьшают еще на 10 дБ. И наконец, чтобы избежать слиш­ком больших погрешностей при квантовании низких уровней сигнала и обеспечить при обратном преобразовании маскировку шумов квантова­ния полезным сигналом, его уровень должен превышать уровень шумов по крайней мере на 20 дБ. С учетом изложенных соображений полу­чаем, что при т = 16 значение динамического диапазона исходного ЗС на входе цифрового тракта в этом случае не должно превышать Dc = (6т + 1,8) - (1,5...2,0) - 12 - 20 = 54 дБ (рис. 12.7.б). На­помним, что после обработки звукорежиссером динамический диапазон ЗС обычно не превышает 40 дБ в радиовещании и 50 дБ при высокока­чественной звукозаписи, например на компакт-диск. При 16-разрядном кодировании и частоте дискретизации f д = = 48 кГц скорость передачи цифрового потока пер = m f /д составит для монофонического сигнала перм = 16 • 48 = 768 кбит/с, а для стерео­фонического – соответственно перст = 2(16 • 48) = 1536 кбит/с. При f д = 44,1 кГц имеем соответственно перм = 705 кбит/с и перст = = 1411,2 кбит/с.

И последнее важное замечание. Общее разрешение АЦП ограничено как числом возможных ступеней квантования, так и временной точно­стью при дискретизации непрерывного сигнала. Если мгновенное зна­чение сигнала изменяется очень быстро, то очевидно, что положение временной точки дискретизации существенно влияет на значение соот­ветствующего ей отсчета. Так, ошибка в значении отсчета при частоте сигнала 1 кГц и временной неточности дискретизации, равной 160 мкс, соответствует ошибке квантования при 10-битовом разрешении. Очень трудно изготовить аналого-цифровой преобразователь с высокой точно-стью квантования и дискретизации. При непосредственном прямом АЦП с 16-разрядным разрешением и числом возможных уровней квантования, равным 65536. необходимо, чтобы сравниваемые в АЦП постоянные на­пряжения были бы очень точными. Это трудно выполнить, так как при максимальном значении амплитуды входного сигнала Uсквтax = 1 В для каждой отдельной ступени квантования требуется точность не менее 0,00001 В. Такая точность должна быть реализована в полосе частот ЗС, равной по меньшей мере 20 кГц.

Проблема реализации требуемой точности при аналого-цифровом преобразовании может быть упрощена, если использовать АЦП и ЦАП с более низкой разрядностью в сочетании с методом дельта-модуляции, являющимся одной из разновидностей дифференциальной ИКМ (ДИКМ). Простейший вариант дельта-модулятора изображен на рис. 12.8,а. Он содержит устройство дискретизации УД аналогового сигнала. компаратор К и интегратор И, являющийся простейшим предсказателем. Здесь осуществляется однопороговое квантование не самого сигнала, а разности между отсчетом входного сигнала s() и его предсказанным значением s*(), имеющим вид ступенчатой функции (рис. 12.8,б). На выходе компаратора имеем цифровой сигнал. Его значение соответству­ет 0, если разность двух сигналов на входе компаратора меньше не­которого порогового значения, и соответствует 1, если она превышает это пороговое значение. Для ЗС с ограниченной скоростью изменения мгновенных значений условие малости приращений ступенчатой функ­ции (рис. 12.8.б), а следовательно, и малых шумов квантования будет выполнено, если частота дискретизации f до в несколько раз превышает значение f д. необходимое по теореме В.А. Котельникова. Повышение частоты дискретизации при соответствующей частоте среза ФНЧ приво­дит к уменьшению уровня шумов квантования в полосе частот полезного сигнала. Это уменьшение связано с тем, что при равномерном кванто­вании мощность шума квантования [см. (12.10)] зависит только от шага квантования, а спектральная плотность шума квантования

Gшкв=(4 Pшкв)/ до (12.21)

тем меньше, чем выше частота дискретизаций f до/2 . При этом вы­игрыш в отношении сигнал/шум квантования может быть реализован, если в тракт кодер-декодер" введен ФНЧ с частотой среза Fср = f д /2. Тогда мощность шума квантования в полезной полосе частот

Ршкв=Pшкв(f д/ f до), (12.22)

где f д – частота дискретизации, определяемая теоремой отсчетов В.А. Котельникова

Кодирование ЗС с повышенной частотой дискретизации имеет и другие достоинства. Оно полностью исключает эффект наложения спек­тров полезного сигнала и продуктов модуляции (см. рис. 12.2,б), что обеспечивает отсутствие комбинационных частот вида Fс + k(f до – Fс) при последующей фильтрации. Отпадает также необходимость приме­нения аналоговых ФНЧ высокого порядка на входе кодера и выходе декодера. Поэтому кодер имеет хорошие переходные характеристики и малое групповое время запаздывания при малой его зависимости от частоты. Однако для реализации выигрыша в величине шума кванто­вания и перехода к стандартному значению частоты дискретизации (48 или 32 кГц) необходимо ограничить полосу частот с одновременным понижением f до до значения f д.

Для этого к выходу кодера подключа­ется цифровой фильтр – дециматор. На входе декодера целесообразно проводить обратную операцию – интерполяцию отсчетов. В кодерах с использованием ДИКМ разрядность АЦП тем меньше, чем выше часто­та дискретизации и чем больше отсчетов учитывается при определении предсказанного значения. При этом отличие ступенчатой функции от сигнала будет наименьшим (см. рис. 12.8,б).

В заключение напомним, что в канале передачи большой динамиче­ский диапазон сигнала можно заменить также на более широкую полосу частот. Напомним, что объем сигнала

Vc=TcFcD`c, (12.23)

где Tс – длительность сигнала (интервал времени, в течение которого сигнал существует); Fс – ширины спектра (диапазон частот, в котором сосредоточена его энергия), D`c – динамический диапазон (отношение наибольшей мгновенной мощности сигнала к наименьшей мощности, ко­торую необходимо еще отличать от нуля).