Непрерывность и дифференцируемость

функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке. Примечание D x®= дельтьто икс стремиться к нулю.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (D y =AD x +a (D x) D x,), из которого следует, что limD x® 0D y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке. Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей: Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной: данный предел равен 1, если и равен (-1), если , получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.