Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия. Схема исследования экстремумов

Экстре́мум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции.

Необходимое условие экстремума. Лемма Ферма. Пусть функция дифференцируема в точке локального экстремума x ₀. Тогда: .

Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю. Важно отметить, что это лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке хо обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции f(х)=х³ обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 3).

Достаточное условие экстремума. Если производная при переходе через точку x ₀ меняет свой знак с плюса на минус, то x ₀ - точка максимума. Если производная при переходе через точку x ₀ меняет свой знак с минуса на плюс, то x ₀ - точка минимума.

• Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

x ₀ является точкой строгого локального максимума. А если

то x ₀ является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x ₀

• Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x ₀. Тогда при условии

и

x ₀ является точкой локального максимума. А если и то x ₀ является точкой локального минимума.

Схема Исследования экстремума. Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.