Логические операции. Употребляемые в обычной речи логические связки "и", "или", "если, то"

Употребляемые в обычной речи логические связки "и", "или", "если..., то...", "эквивалентно", частица "не" и т. д. позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более "сложные" высказывания.

Аналогично тому, как в языке из простых предложений с помощью логических связок образуются сложные предложения, так и в логике высказываний из атомов можно образовывать составные высказывания.

Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

Рассмотрим определения логических операций, соответствующих логическим связкам.

Каждому высказывания можно сопоставить его истинностное значение, обозначаемое соответственно через И (если высказывание истинно), Л (если высказывание ложно).

Истинно­стное значение сложных высказываний зависит от истинностных значений высказываний, составлявших слоеное высказывание.

Эта зависимость устанавливается в данных ниже определениях я стращается в таблицах истинности.

Пусть A, В - произвольные высказывания, относительно кото­рых не предполагается, что известно их истинностные значе­ния.

Связке "НЕ" соответствует логическая операция отрицания, обозначение операции – знак  или -.

Определение. Отрицанием высказывания A называется высказывание (A), которое истинно, если A – ложно, и ложно, если A – истинно.

Таблица истинности отрицания:

A	-A
И	Л
Л	И

Связке "И" соответствует операция конъюнкция, обозначение операции – знак /\ (или ).

Определение. Конъюнкцией высказываний A и B называется высказывание AB (читается "A и B"), которое истинно тогда и только тогда, когда A, B – истинно.

Таблица истинности конъюнкции:

A	B	A/\B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Пример: A: 5 – нечетное число; B: Пушкин родился в 1799 г – истинные высказывания; поэтому высказываниеAB: 5 – нечетное число Пушкин родился в1799 г. – истинное высказывание.

Связке "ИЛИ" соответствует операция дизъюнкция, обозначение операции – знак V.

В формально-логических выводах «или» употребляется не в исключающем смысле (в отличие от обыденной речи, где эта связка может употребляться и в исключающем смысле и в неисключающем смысле)

Определение. Дизъюнкцией высказываний A и B называется высказывание AB (читается "A или B"), которое ложно тогда и только тогда, когда A, B – ложны.

Таблица истинности дизъюнкции:

A	B	AVB
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Пример. A: 7<10, и.в. В: 3 - число четное, л.в. AB: 7<10 3 - число четное, и.в.

Связке "ЕСЛИ....ТО" соответствует логическая операция импликация, обозначение операции знак →.

Определение. Импликацией высказываний A и B называется высказывание A→B (читается "если A, то B"), которое ложно тогда и только тогда, когда A – истинно, а B – ложно.

Таблица истинности импликации:

A	B	A→B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Пример. A: 2*2=5, л. в. В: 2=2, и. в. A→B: 2*2=5→ 2=2. и. в.

Высказывание A называется условием или посылкой, высказывание В - заключением или следствием импликации.

Связке "ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА" соответствует операция эквиваленция, обозначение операция – знак .

Определение. Эквиваленцией высказываний A и В навивается высказывание, обозначаемое AB (читается:"A тогда и только тогда, когда В" или короче: "A эквивалентно В"), которое считается истинным только тогда, когда оба высказывания A и В имеют одинаковое истинностное значение.

Эквивалентность АВ читается также следующим образом: "Для того, чтобы A, необходимо и достаточно, чтобы В".

Таблица истинности эквиваленции:

A	B	AB
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Пример. A: 7 – число простое; и.в. В: в равнобедренном треугольнике при основании углы равны, и.в. AВ - и.в.