Обобщенные функции (распределения)

Пусть Φ — какое-либо из основных пространств D или S.

Основному множеству D(Rn) принадлежат все финитные функции класса C∞(Rn). Напомним, что финитными называют функции,которые обращаются в нуль вне некоторого шара конечного радиуса.Класс C∞(Rn) состоит из функций непрерывных вместе со всеми своими (частными) производными на Rn.

Основному множеству S(Rn) принадлежат все функции класса C∞(Rn), стремящиеся к нулю при x→∞ вместе со всеми своими производными любого порядка быстрее любой степени 1/|x|

Определение. Обобщенной функцией (распределением) на Φ называется всякий линейный непрерывный функционал, заданный на пространстве основных функций Φ.

Значение функционала f (обобщенной функции, распределения) на основной функции ϕ(x) ∈ Φ записывают (f,ϕ(x)). Обобщенную функцию f также формально записывают в виде f(x), подразумевая под x аргумент основных функций, на которые действует функционал f.

Расшифруем определение обобщенной функции.

1) Обобщенная функция f есть функционал на Φ, т. е. всякой функции ϕ(x) ∈ Φ ставится в соответствие единственное число (вещественное или комплексное)

f: ϕ(x) → (f,ϕ(x)) ∈ R или C.

2) Обобщенная функция является линейным функционалом, т. е.

∀ϕ(x), ψ(x) ∈ Φ и ∀λ, µ ∈ R (или C)

(f,λϕ(x) + µψ(x)) = λ(f,ϕ(x)) + µ(f,ψ(x)).

3) Обобщенная функция является непрерывным линейным функционалом, т. е. если ϕk(x) → ϕ(x) в смысле пространства Φ, то (f,ϕk(x)) → (f,ϕ(x)).

Множество обобщенных функций на Φ обозначают Φ′. При этом множество D′ называют множеством обобщенных функций бесконечного порядка, а множество S′ — множеством обобщенных функций медленного роста. Так как D ⊂ S, то D′ ⊃ S′ . Поскольку D плотно в S, то обобщенные функции медленного роста могут быть получены продолжением некоторых обобщенных функций бесконечного порядка с D на S.

Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена (уравнение Фурье—Кирхгофа) получают, приравняв субстанциональную производную

(9.20)

где: , , - скорости перемещения частиц в направлении осей соответственно x, y, z

к уравнению (9.6):

(9.21)

Для полного математического описания процесса это уравнение требуется дополнить условиями на границе раздела потока и стенки аппарата. Для этого рассмотрим процесс конвективного теплообмена между стенкой аппарата и потоком жидкости (см. рис. 9.2). В данном случае поток жидкости можно рассматривать как двухслойную систему, состоящую из пограничного слоя толщиной и ядра потока, в котором происходит интенсивное перемешивание частиц жидкости при турбулентном режиме. Теплота от стенки аппарата через пограничный слой распространяется теплопроводностью, которая описывается законом Фурье (9.5). Это же количество теплоты, описываемое законом Ньютона (9.18), распространяется в ядре потока. Приравнивая эти уравнения, получим уравнение, характеризующее условия на границе:

(9.22)

Дифференциальные уравнения, однако, можно привести к расчетному виду только в ряде простейших случаев. Во всех остальных случаях расчетные уравнения получают, используя методы теории подобия, из общих дифференциальных уравнений, приводя их с помощью экспериментальных данных к конкретному виду.