Имитация магазинной системы

В качестве примера имитационного моделирования рассмотрим обслуживание кассиром покупателей магазина. Покупатели прибывают в магазин, ожидают обслуживания, если кассир занят, обслуживаются и затем покидают магазин. Покупатели, прибывшие в магазин в тот момент, когда кассир занят, ожидают в единственной к нему очереди. Для простоты мы предполагаем, что момент прибытия клиента и время обслуживания его кассиром известны для каждого клиента (табл. 1.1). Наша цель состоит в ручной имитации функционирования описанной выше системы для того, чтобы определить, какой процент времени кассир свободен и каково среднее время прибытия покупателя в кассе.

Так как имитационное моделирование — это динамическое отображение изменений состояния системы с течением времени, то в первую очередь должны были быть определены состояния системы. Для данного примера состояние моделируемой системы определяется состоянием кассира (свободен или занят) и числом покупателей в магазине.

Состояние системы изменяется в результате в происхождения следующих событий:

1. Прибытие покупателя к кассе.

2. Завершение обслуживания кассиром и последующего ухода покупателя.

Для иллюстрации имитации будем определять состояния системы путем обработки упорядоченных во времени событий, соответствующих прибытию и уходу покупателя.

Таблица 1.1 Моменты прибытия и времена

обслуживания покупателей

Номер покупателя	Момент прибытия, мин.	Время обслуживания, мин
	3,2	3,8
	10,9	3,5
	13,2	4,2
	14,8	3,1
	17,7	2,4
	19,8	4,3
	21,5	2,7
	26,3	2,1
	32,1	2,5
	36,6	3,4

Итоги ручной имитации в соответствии с исходными данными, представленной в табл. 1.1, приводятся в таблице 1.2., при этом предполагается, что в начальный момент времени в системе нет клиентов, кассир свободен и первый покупатель прибывает в момент времени, равный 3,2 мин.

В таблице 1.2 первый и второй столбцы взяты из таблицы 1.1. Время начала обслуживания, приведенное в третьем столбце, зависит от того, покинул ли предыдущий покупатель магазин. Оно принимается равным наибольшему значению из времен прибытия данного покупателя и ухода предыдущего. Время ухода приведено в четвертом столбце, оно вычисляется как сумма соответствующего элемента третьего столбца времени обслуживания данного клиента, которое определяется по таблице 1.1. Значение времени нахождения каждого покупателя в очереди и магазине вычисляется. Как показано в таблице 1.2 среднее значение этих переменных соответственно равны 2,61 и 5,81 мин.

Таблица 1.2. Ручное моделирование магазина

Номер покупателя (1)	Момент прибытия, мин. (2)	Момент начала обслуживания, мин. (3)	Момент ухода, мин. (4)	Время ожидания в очереди, мин. (5)=(3)-(2)	Время прибытия в магазин, мин. (6)=(4)-(2)
	3,2	3,2	7,0	0,0	3,8
	10,9	10,9	14,4	0,0	3,5
	13,2	14,4	18,6	1,2	5,4
	14,8	18,6	21,7	3,8	6,9
	17,7	21,7	24,1	4,0	6,4
	19,8	24,1	28,4	4,3	8,6
	21,5	28,4	31,1	6,9	9,6
	26,3	31,1	33,2	4,8	6,9
	32,1	33,2	35,7	1,1	3,6
	36,6	36,6		0,0	3,4

Таблица 1.2 содержит итоговую информацию, относящуюся к покупателю. Но не содержат сведений о кассире и размере очереди к нему. Для получения такой информации необходимо исследовать события, связанные с этой ситуацией.

Логика обработки события и ухода зависит от состояния системы в момент наступления этих событий. При наступлении события «прибытие покупателя» в магазин дальнейшая ситуация определяется состоянием кассира. Если кассир свободен, он переходит в состояние «занят» и приступает к обслуживанию клиента. При этом планируется событие «уход данного покупателя» в момент времени. Равный текущему времени плюс продолжительность его обслуживания. Если кассир занят, обслуживание покупателя не может начаться, и, следовательно, он встает в очередь (длина очереди увеличивается на 1). Логика обработки события «уход покупателя из магазина» зависит от длины очереди. Если в очереди есть хотя бы один покупатель, кассир остается в состоянии «занят», длина очереди уменьшается на 1 и для первого покупателя из очереди планируется событие ухода. Если же очередь пуста, кассир переводится в состояние «свободен».

В таблице 1.3 приводится событийно-ориентированное описание состояния кассира и числа клиентов в магазине (события расположены в хронологическом порядке). На рис 1.2 приведены графики изменения значений этих переменных состояний во времени. Результаты имитации показывают, что в течение первых 40 мин. работы в магазине в среднем одновременно находилось 1,4525 покупателя, а кассир был свободен 20 % времени.

Для расположения событий прихода и ухода в хронологическом порядке необходимо вести запись (календарь) событий, подлежащих последующей обработке (будущих событий). Это осуществляется путем фиксирования моментов наступления следующего события прихода и следующего события ухода. Сравнение этих моментов определяет выбор одного из событий для обработки. Такой упорядоченный список событий обычно называют файлом или календарем событий.

Таблица 1.3 Событийно-ориентированное описание

имитации работы магазинного кассира

Время события, мин.	Номер покупателя	Тип события	Длина очереди	Число покупателей	Состояние кассира	Время простоя кассира (мин.)
0,0	—	Начало			Свободен	—
3,2		Приход			Занят	3,2
7,0		Уход			Свободен
10,9		Приход			Занят	3,9
13,2		>>			>>
14,4		Уход			>>
14,8		Приход			>>
17,7		>>			>>
18,6		Уход			>>
19,8		Приход			>>
21,5		>>			>>
21,7		Уход			>>
24,1		>>			>>
26,3		Приход			>>
28,4		Уход			>>
31,1		>>			>>
32,1		Приход			>>
33,2		Уход			>>
35,7		>>			Свободен
36,6		Приход			Занят	0,9
40,0		Уход			Свободен

Рис. 1.2 Графическое представление результатов

моделирования работы магазина

Приведенный пример иллюстрирует целый ряд важных понятий. Мы убедились в том, что в любой момент времени модель находиться в некотором состоянии. При наступлении событий состояние системы меняются в соответствии с логико-математическими отношениями, связанными с этими событиями. Таким образом, события определяют динамическую структуру системы. При заданных начальном состоянии, логической схеме обработки каждого события и методе определения случайных величин наша проблема в большой степени становится вычислительной проблемой. Существенным элементом схемы вычислительных явлений является календарь событий, который обеспечивает механизм для записи и упорядочения будущих событий.

Еще одним важным моментом является то, что мы сможем рассматривать изменения состояния системы в двух аспектах:

1. как процесс, с которым сталкивается покупатель при обслуживании (точка зрения покупателя);

2. как последовательность событий, которые вызывают изменения состояния кассира (точка зрения кассира).