Оптимальная линейная фильтрация. Уравнение Винера-Хопфа

Пусть наблюдаемое изображение y есть некоторая функция от идеального сигнала x и помехи n. В точке с координатами (i, j): y_ij = f (x_ij, n_ij), i =0¸ I -1, j =0¸ J -1.

Если обе координаты (номер строки и номер столбца) всех точек окрестности не превышают координат рабочей точки (i, j), т.е. окрестность расположена левее и выше, то фильтрация называется каузальной.

Если обе координаты некоторых точек окрестности выше (i, j), то фильтрация некаузальная. Если по одной из координат выполняет принцип каузальности, а по второй нет, то это полукаузальная фильтрация.

При линейной фильтрации выходной эффект определяется линейной комбинацией входных данных с весовыми коэффициентами a:

, где S – множество точек образующих окрестность.

Совокупность весовых коэффициентов a представляет собой двумерную импульсную характеристику. Если область S конечна, то импульсная характеристика имеет конечную длину и фильтр называется КИХ-фильтром. Если импульсная характеристика бесконечна, то БИХ-фильтром.

От координат рабочей точки (i, j) импульсная характеристика не зависит. Такая процедура обработки, не зависящая от координат, называется однородной.

В качестве критерия оптимальности для оценки фильтрации выбирается критерий минимума среднего квадрата ошибок:

.

Если вычислить производную этого выражения по коэффициенту a (k, l) и приравнять ее 0, то получим

(1)

Мат.ожидания, входящие в это выражение есть корреляционная и автокорреляционная функции:

Если корреляционные функции известны, то это выражение есть линейное алгебраическое уравнение относительно коэффициентов а. Если повторять дифференцирование (1) относительно остальных коэффициентов а, то получим систему линейных уравнений. Количество уравнений равно количеству точек в окрестности S - n_S. Эта система уравнений называется уравнением Винера-Хопфа. Если разрешить ее относительно всех неизвестных a, то будет найдена импульсная характеристика линейного фильтра, минимизирующего средний квадрат ошибок фильтрации.