Учет граничных условий

Матрица жесткости системы, полученная суммированием по элементам (81), вырождена, так как не учтены кинематические граничные условия. Она имеет, как минимум, три кратных нулевых собственных значения и соответствующие им собственных вектора, поскольку на плоскости система в целом имеет три перемещения как абсолютно жесткого тела. В общем случае число нулевых собственных значений равно числу степеней свободы системы как абсолютно жесткого тела. Существует несколько способов учета граничных условий. Рассмотрим два основных.

Первый способ заключается в вычеркивании строк и столбцов, соответствующих абсолютно жесткой связи. Если в направлении связи задано перемещение, то вектор правых частей уравнения равновесия модифицируется вычитанием из него -го столбца матрицы жесткости, умноженного на заданное перемещение. Реакция в наложенной связи s определяется после решения преобразованной системы уравнений с вычеркнутым s-тым уравнением как невязка -го уравнения.

Другой, более простой способ, позволяет учесть жесткость связи. Если в направлении -й степени свободы задана упругая связь, имеющая жесткость , то к диагональному элементу матрицы жесткости системы добавляется жесткость этой связи. Если задано смещение упругой связи, то к вектору правых частей добавляется произведение жесткости связи на величину смещения. После решения системы уравнений реакция в связи определяется как произведение найденного перемещения в направлении -й степени свободы на жесткость связи. При моделировании абсолютно жестких связей связями конечной жесткости приходится задавать слишком большие значения коэффициентов жесткости, что приводит к плохой обусловленности матрицы жесткости системы и ухудшает точности решения.

Если упругая опора наклонна, то ее можно рассматривать как конечный элемент с одним узлом [3], матрица жесткости которого определяется по выражению

(8.14)

где , – соответственно косинус и синус угла наклона связи, -скалярная величина. Реакция в такой опоре находится как произведение ее жесткости на найденное перемещение узла, спроецированное на ось опоры. Если задана наклонная абсолютно жесткая опора, то для такого узла принимается своя система координат, в которой формируются уравнения равновесия. Затем граничные условия учитываются по первому способу. После решения системы уравнений найденное перемещение узла в направлении ортогональном к направлению опоры переводится в глобальную систему координат.