Эллиптические уравнения 3 страница

Используя непрерывность по функций и , а также интегральную теорему о среднем, получим

при . Следовательно, в пределе при , равенство (48.6) примет вид

.

Отсюда вытекает второе свойство функции Грина.

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре

Задача состоит в поиске функции , такой, что в шаре , а на границе шара – сфере выполнено условие где – непрерывная по функция.

Для решения этой задачи вначале построим функцию Грина. Точке шара , такой что , с помощью преобразования инверсии (47.15) сопоставим точку . Возьмем теперь некоторую точку и обозначим через и расстояния и соответственно. Найдем соотношение между и , когда (см. рис.).

Имеем , так как – общий и , так как . Из подобия этих треугольников следует, что или при .

Покажем теперь, что функция ( – инверсия ) есть искомая функция Грина задачи Дирихле для шара . Действительно, функция гармонична по в за исключением точки , где она обращается в бесконечность. При справедливо равенство . Положив , получим, что удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на функцию Грина.

Подставив найденную функцию в полученную ранее формулу , получим

, (48.7)

где дифференцирование ведется по направлению нормали в точке границы .

Преобразуем полученную формулу.

Имеем .

В соответствии с определением дифференцирования по направлению нормами (см. рис.), имеем

Так как

то мы получаем, что

Аналогично можно получить равенство . Таким образом,

(48.8)

Из и по теореме косинусов имеем

;

Определим значения и из последних равенств и подставим их в (48.8), после чего получим

Используя равенства и , вычислим

Отсюда и из формулы представления решения (48.7) имеем

. (48.9)

Полученная формула называется формулой Пуассона.

Таким образом, если решение внутренней задачи Дирихле для шара существует и если оно непрерывно в замкнутом шаре вместе со своими первыми производными, то оно представлено формулой Пуассона.

Докажем теперь, что если – непрерывна, то формула Пуассона (48.9) дает решение внутренней задачи Дирихле. Покажем с этой целью, что интеграл, входящий в правую часть формулы Пуассона есть функция гармоническая в , непрерывная в и принимающая заданные краевые значения.

Гармоничность следует из того, что при

( – гармоническая функция, если , а это так, поскольку ).

Возьмем и докажем, что если , то . Формула Пуассона справедлива и при , когда решение задачи Дирихле, очевидно, существует и тождественно равно единице

. (48.10)

Умножим обе части последнего равенства на . Из формулы Пуассона имеем

. (48.11)

Выберем радиус шара столь малым, чтобы при всех в силу непрерывности имело место неравенство – произвольно мало. Обозначим . Оставшуюся часть сферы обозначим . Равенство (48.11) перепишем в виде

(48.12)

Оценим в отдельности каждое слагаемое в правой части равенства (48.12). Вначале оценим первый интеграл

Оценим теперь второй интеграл в правой части (48.12). Допустим, что в своем стремлении к точке , точка уже подошла настолько близко, что лежит в шаре . Тогда , если . Функция непрерывна на , следовательно, она ограничена: . Отсюда имеем

.

Когда разность , следовательно,

при – достаточно малом. Из оценок двух интегралов имеем . Отсюда в силу произвольности следует .

Теорема. Функция, гармоническая во всем равна нулю.

Доказательство. Пусть – гармоническая при функция. Опишем из начала координат сферу . В шаре в соответствии с формулой Пуассона имеет место равенство Выберем настолько большим, чтобы при имело место неравенство (так как гармоническая равномерно стремится к нулю при ). Тогда . Отсюда и из представления (48.10) вытекает оценка . В силу произвольности теорема доказана.

§ 49. Некоторые сведения о краевых задачах

для уравнения Пуассона

Наряду с уравнением Лапласа, имеющим нулевую правую часть, рассмотрим неоднородное уравнение

(49.1)

которое называют уравнением Пуассона. Здесь – заданная функция. Для этого уравнения возможно поставить первую, вторую и третью краевые задачи, точно так же, как в случае уравнения Лапласа. Из доказательства теорем единственности следует, что классы единственности, доказанные для уравнения Лапласа, сохраняются и для уравнения Пуассона. Отметим лишь, что в формулировке теоремы единственности для внутренней задачи Неймана вместо сформулированного необходимого условия разрешимости (которое, впрочем, относится не к единственности, а к разрешимости), необходимое условие разрешимости внутренней задачи Неймана для уравнения Пуассона имеет вид

. (49.2)

Действительно, вторая формула Грина, примененная к функциям решению данной задачи и , принимает вид

,

откуда следует равенство (49.2).

Зададимся целью научиться сводить решение краевых задач для уравнения Пуассона к решению соответствующих задач для уравнения Лапласа.

Рассмотрим функцию

отличающуюся от введенной выше функции Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа тем, что от гармонической функции мы не требуем выполнения краевого условия .

Рассмотрим ограниченную область . Когда , вторую формулу Грина (47.4) можно применить в области , где – достаточно мало для того, чтобы шар целиком лежал в . При этом получим равенство

.

При интеграл стремится к несобственному интегралу , если последний существует. Как мы неоднократно оценивали ранее, при , поскольку производная непрерывна и ограничена, а растет на как при . Ранее мы показывали, что при (так как внешняя нормаль к части границы области направлена внутрь и поэтому ).

Учитывая найденные значения пределов, окончательно получим

. (49.3)

Представление решения задачи Дирихле

для уравнения Пуассона через функцию Грина

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона

(49.4)

(49.5)

Предположим, что – функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области . Напомним, что функция представима в виде

(49.6)

(49.7)

Подставим в формулу (49.3), получим

Итак,

. (49.8)

Если функция Грина и ее производная существуют, то эта формула дает решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Тем самым решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона сможет быть заменено разысканием функции , соответствующей уравнению Лапласа, то есть задачи, рассмотренной нами ранее.

Представление решения третьей краевой задачи

для уравнения Пуассона с помощью функции Грина

Рассмотрим задачу

(49.9)

(49.10)

Воспользуемся тождеством

,

введем для кратности операторное обозначение и преобразуем формулу (49.3) к виду

. (49.11)

Пусть , где и , то есть – функция Грина третьей краевой задачи. Для этого функция должна быть решением граничной задачи

.

Подставим в (49.11) значения величин и и, положив , получим интегральное представление решения рассматриваемой задачи

, если . (49.12)

§ 50. Обобщенные решения эллиптических уравнений

Эллиптический дифференциальный оператор.

Теорема Лопатинского

Будем рассматривать линейный дифференциальный оператор вида

. (50.1)

Коэффициенты заданы в области .Если все , то говорят, что – линейный дифференциальный оператор класса порядка . В случае, когда все коэффициенты в (50.1) постоянны, то используют обозначения .

Определение. Главной частью оператора называется дифференциальный оператор . Каждому дифференциальному оператору можно поставить в соответствие некоторый многочлен, который называется символом дифференциального оператора.

Определение. Полным символом оператора называется функция

а главным символом называется функция

(50.2)

где ; – мнимая единица; – двойственная к переменная .

Определение. Оператор называется эллиптическим в точке , если символ его главной части отличен от нуля для всех .

Определение. Оператор называется эллиптическим в области , если он эллиптичен в каждой точке .

Пример. Пусть . Рассмотрим оператор Лапласа

.

Это оператор порядка . При этом . Найдем символ главной части этого оператора:

при .

Таким образом, мы показали, что оператор Лапласа является эллиптическим оператором в любой области .

Эллиптичность оператора налагает на него определенные свойства, некоторые из которых будут следовать из теорем доказанных ниже.

Теорема. Пусть – линейный эллиптический дифференциальный оператор порядка в области . Тогда в все коэффициенты при производных отличны от нуля.