Эллиптические уравнения 2 страница

Поведение гармонической функции на бесконечности

Пусть точка лежит вне шара . Совершим преобразование инверсии

. (47.15)

Точки и называются симметричными относительно сферы .

Симметричные точки удовлетворяют соотношению

(47.16)

и поэтому преобразование инверсии взаимно однозначно преобразует внешность шара на . Пусть функция – гармоническая вне шара . Функция

(4.17)

называется преобразованием Кельвина функции .

Утверждение (без доказательства). При преобразовании Кельвина (4.17) гармоничность сохраняется, то есть, если функция гармонична в , то функция гармонична в .

Лемма (об устранимой особенности). Пусть – изолированная особая точка функции и во всех точках некоторой шаровой окрестности точки функция гармонична, причем . Тогда может быть доопределена в точке до гармонической.

Доказательство. В дальнейшем будет доказана формула Пуассона, согласно которой можно построить гармоническую в шаре функцию , принимающую на те же значения, что и (т.е. принимающую на заданные значения). Рассмотрим также функцию , где – радиус . Последняя функция неотрицательна при и гармонична в области (см. лемму 1). При эта функция растет как , поэтому, если функция при растет медленнее, то есть , или при , то существует такое число при , что при и . При в этом неравенстве обе части равны нулю и неравенство верно при любом выборе функции , а для выполнения этого неравенства при примем за наибольшее значение выражения (заметим, что при растет медленнее по условию, а – вообще ограничена, как гармоническая). Так как функции и обе являются гармоническими в области , то неравенство выполненное на границе области, по принципу максимума выполнено и внутри . (Действительно, если, например, на границе, то эта разность не может быть больше нуля внутри области).

Зафиксируем точку и устремим к нулю. Правая часть неравенства будет стремиться к нулю, а так как его левая часть не зависит от , то для любой точки и, следовательно, функция равенством может быть доопределена до гармонической при . Лемма доказана.

Теорема. Пусть гармоническая вне шара функция. Тогда при

. (47.18)

Доказательство. По определению гармонической в области с выходами на бесконечность функции, при , то есть при . Совершая преобразование Кельвина, получим функцию гармоническую в и удовлетворяющую при условию . По лемме 4 об устранимой особенности заключаем, что – гармоническая в функция. Совершая обратное преобразование Кельвина для функции получим представление из которого (и из ограниченности в шаре гармонической функции ) вытекает первая из оценок (47.18). Для получения второй оценки достаточно продифференцировать представление по каждой из независимых переменных . Теорема 3 доказана.

Доказанная теорема и преобразование Кельвина позволяют внешние краевые задачи сводить к внутренним и наоборот.

Теоремы единственности решений краевых задач для уравнения Лапласа

Теорема. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, как внутренней так и внешней, единственно в классе функций .

Доказательство. Рассмотрим вначале внутреннюю задачу Дирихле. Предположим, что существуют два решения и одной и той же задачи Дирихле. Тогда их разность будет гармонической и . Отсюда по принципу максимума следует, что в , то есть , так как в противном случае она должна была бы достигать внутри наибольшего положительного или наименьшего отрицательного значений, что невозможно.

Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле.

Как и ранее, предположим, что существуют два решения и . Тогда их разность будет гармонической функцией, равной нулю на и равномерно стремящейся к нулю при , то есть для любого найдется такое , что для справедливо неравенство .

Пусть – произвольная точка области . Проведем сферу с радиусом – настолько большим, чтобы и поверхность лежали внутри . Кроме того, выберем настолько большим, чтобы по произвольно заданному при было выполнено неравенство . Тогда, как следует из теоремы о максимуме, примененной к области , неравенство выполнено для всех . В силу произвольности заключаем, что , а так как – произвольная точка, то в , то есть . Теорема 4 доказана.

Теорема. Решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Необходимым условием разрешимости этой задачи является равенство

. (47.19)

Доказательство. Если и – два решения внутренней задачи Неймана, то их разность и имеет нулевую нормальную производную на . Применяя первую формулу Грина (47.3) к , получим , откуда следует, что , так что .

Необходимость условия (47.19) разрешимости внутренней задачи Неймана вытекает из условия (4.2) и второй формулы Грина (47.4), примененной к функциям и – решению задачи. Действительно, . Теорема доказана.

Теорема. Решение внешней задачи Неймана единственно.

Доказательство. Пусть и – два решения внешней задачи Неймана. Тогда – гармоническая в функция. По теореме 3 о поведении при гармонических функций имеем . Применяя первую формулу Грина (47.3) к области при , получим

. (47.20)

Но из оценок поведения при следует

. (47.21)

Устремляя , получим из (47.20) и (47.21) , но , следовательно, при всех . Теорема доказана.

§ 48. Функция Грина задачи Дирихле

Предварительные рассуждения. Пусть – гармоническая функция и . Тогда имеет место формула (47.12) (3-е свойство гармонической функции):

, (48.1)

где .

Пусть также известна функция , обладающая следующими свойствами:

1. гармонична по в и ;

2. при .

Применяя вторую формулу Грина к гармоническим функциям и , получим

, (48.2)

(интегрирование ведется по ). Из второго свойства функции следует

. (48.3)

Вычитая последнее равенство из (48.1), получим

. (48.4)

Обозначим

. (48.5)

Эта функция называется функцией Грина задачи Дирихле.

Определение. Функцией Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области называется функция , удовлетворяющая следующим условиям

1. – гармоническая по ;

2. .

3. При справедливо представление (48.5), где – гармоническая в функция.

Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части , которая определяется из задачи Дирихле

С помощью функции Грина решение внутренней задачи Дирихле (если оно существует) задается формулой, вытекающей из (48.4)

. (48.5)

При выводе формулы (48.5) предполагалось существование решения внутренней задачи Дирихле с граничными значениями , непрерывного вместе со своими производными вплоть до границы . Искомая же функция в задаче Дирихле должна быть гармонической внутри области и непрерывной в замкнутой области . Таким образом, не давая доказательства существования решения, формула (48.5) дает интегральное представление существующих достаточно гладких решений задачи Дирихле. А.М. Ляпунов изучал представление (48.5) решения задачи Дирихле и установил, что если граница области «достаточно хорошая», формула (48.5) представляет решение задачи Дирихле при любом выборе функции , входящей в граничные условия.

Совершенно аналогично вводится функция Грина для внешней задачи Дирихле.

Некоторые свойства функции Грина внутренней

задачи Дирихле

Свойство 1. .

Доказательство. На границе и на , если – достаточно мало (так как при ). Отсюда в силу принципа максимума (см. теорему 2) вытекает искомое утверждение.

Замечание. Так как , то по принципу максимума, при всех и, следовательно,

Свойство 2. Функция Грина симметрична .

Для доказательства применим вторую формулу Грина (47.3) к функциям и , а в качестве области интегрирования возьмем – настолько мало, что . В силу гармоничности функций и объемный интеграл будет равен нулю. Интеграл по поверхности также равен нулю, в силу граничного условия . Следовательно, имеет место равенство

(48.6)

Так как при для сферы справедливо равенство

,

где и – непрерывные, ограниченные функции, то учитывая, что , имеем . Откуда

при .

Учтем также, что

где – непрерывная ограниченная функция. Поэтому