Способы генерации последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения на ЭВМ

Пусть непрерывная случайная величина η определена в интервале (а,b) и имеет плотность распределения f(x)>0 при а<х<b (случай а = - ∞, b = ∞ не исключается).

функция распределения: Fx=axf(x)dx

Принцип работы метода обратной функции сформулируем в виде теоремы 6.1. Случайная величина η, реализации х которой определяются из выражения

F (x)=z или x=F-1 (z), (6.14)

где z - реализация базовой случайной величины ξ, имеет плотность распределения f(x).

Доказательство. Напишем выражение для вероятности попадания случайной величины ξ в отрезок [0, z]

Pξ≤z=PFη≤Fx=Pη≤x=Fx=z (6.15)

Первое равенство выражения (6.15) написано из условия (6.14) данной теоремы. Справедливость второго равенства следует из свойства монотонного возрастания функции распределения от нуля до единицы. И, наконец, последнее равенство предопределено известным свойством равномерного распределения, что вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал, равна длине этого интервала, т.е. Р { ξ < z} = z.

Для практического применения метода обратной функции необходимо разрешить относительно х уравнение: ax1fxdx=zj (6.16)

Пример 1. Случайная величина η с функцией плотности f(x)=x-2 определена на интервале [1, ∞). Воспользовавшись соотношением (3.3), можно получить ax1x-2dx=1-1xj=zj тогда xj=F-1zj=1(1-zj)

Алгоритм, реализующий метод обратной функции, состоит из следующих процедур:

Шаг 1. Положить у =1.

Шаг 2. Получить реализацию z случайной величины ξ.

Шаг 3. Вычислить реализацию х случайной величины η. xj=F-1(zj)

Шаг 4. Положить j=j+1

Шаг 5. Проверить выполнение условия j>n, где n – требуемое число реализаций случайной величины η. При нарушении этого условия переход на шаг 2.

Шаг 6. Вывод значений {xj}..