Решение системы n линейных уравнений с п переменными методом Гаусса

Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных.

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов , получаемой приписыванием к матрице столбца свободных членов :

.

Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида .

Пример. Методом Гаусса решить систему:

Выпишем расширенную матрицу системы.

Шаг 1. Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы стал равным 1.

Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце образовались нули.

Шаг 3. Умножим элементы третьей строки на (–0,5).

Шаг 4. Поменяем местами вторую и третью строки.

Шаг 5. Поменяем местами второй и третий столбец. (Шаги 3, 4, 5 приведены с тем, чтобы ).

Шаг 6. Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим их к элементам третьей строки, тогда под элементом появится нуль.

(называется расширенная матрица системы) .

Расширенная матрица приведена к треугольному виду. Соответствующая ей система имеет вид:

Из последнего уравнения ; из второго ; из первого .

Таким образом, , , .

6. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А ^–1 В).

Для получения решения системы при в общем виде предположим, что квадратная матрица системы невырожденная, т.е. ее определитель . В этом случае существует обратная матрица .