Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему)

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке представимо в виде , где А – некоторая константа.

, где .

Иначе говоря, функция f дифференцируема в точке , если её приращение есть линейная функция относительно с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем .

Критерий дифференцируемости: пусть функция f(x) определена в некотором интервале (а, b) и , тогда функция f(x) дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё в точке существует производная.

Доказательство:

пусть функция f дифференцируема в точке , тогда её приращение по определению представимо в виде:

.

, то есть производная существует.

Пусть у функции f(x) в точке существует производная, то есть существует конечный предел .

.

.

Теорема доказана.

Следствие: коэффициент А в представлении приращения дифференцируемой функции есть производная функции в точке .

Главная линейная относительно часть приращения линейной функции называется дифференциалом функции в точке : .

Теорема. Необходимое условие дифференцируемости: если функция дифференцируема в точке ,то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: функция дифференцируема в точке , то есть: . Покажем, что .

.

Если покажем, что , то докажем непрерывность функции.

.

Класс дифференцируемых функций является подмножеством класса непрерывных функций.

Это условие достаточным не является.

Например, функция y=|x|. Эта функция непрерывна в точке х=0, но дифференцируемой в ней не является.

,

.

функция не дифференцируема в точке 0.