Доказательство. Пусть y = f(x) возрастает на [a, b]

(рисунок)

Пусть y = f (x) возрастает на [ a, b ].

1) В силу следствия из теоремы 3.4 функция y = f (x) принимает любое значение между f (a) и f (b), а так как y = f (x)-ворастающая функция, то у неё нет значений, меньших f (a), и значений, больших f (b). Тем самым, множество её значений Y = [ f (a), f (b)].

2) Так как y = f (x)- возрастающая функция, то каждое значение y Î Y функция принимает только в одной точке. Отсюда следует, что на сегменте Y существует обратная функция х =
(у).

3) Докажем, что х = (у)возрастает на сегменте Y.

Возьмём и Î Y, < Требуется доказать, что < ,

То есть, что < . Так как f () = , f () = , то если предположить, что ³ , в силу возрастания функции f (x) получим f() ³ f(), то есть ³ , что противоречит неравенству < . Таким образом () < (), то есть обратная функция возрастает на сегменте Y.

4) Остаётся доказать непрерывность обратной функции на сегменте Y.

Возьмём произвольную точку Î(f (a), f (b)) и докажем непрерывность обратной функции в точке . Непрерывность в точках f (a) и f (b) доказывается аналогично.

(рисунок)

По определению непрерывности нужно доказать, что "e > 0 $d > 0: | (y) - () | < e

при | y - | < d, или | (y) - | < e при | y - | < d. Иначе говоря, нужно доказать, что значения обратной функции лежат в e - окрестности точки для значений аргумента у из d - окрестности точки .

Возьмем произвольное e > 0 столь малым, чтобы - e и + e Î [ a, b ]. Пусть

f ( - e) = , f ( + e) = . Так как функция y = f (x) - возрастающая, то < < . А так как обратная функция x = (y) также возрастающая, то < (y) < при

< y < , то есть значения обратной функции лежат в e - окрестности точки для значений аргумента y Î (, ).

Возьмём "d - окрестность точки , принадлежащую интервалу (, ). Тогда, согласно доказанному, значения обратной функции для значений аргумента y из этой d - окрестности лежат в e - окрестности точки , что и требовалось доказать.