Теорема о существовании, строгой монотонности и непрерывности обратной функции

Пусть функция у = f (x) определена на множестве Х, и пусть Y - множество её значений. Пусть каждое своё значение функция принимает только в одной точке. В таком случае говорят, что функция у = f (x) осуществляет взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. Поставим в соответствие каждому у Î Y то число х Î Х, для которого f (x) = у. Тем самым на множестве Y будет определена функция. Она называется обратной по отношению к функции у = f (x) и обозначается х = (у). Отметим, что обратной для функции х = (у) является функция y = f (x), поэтому функции y = f (x) и х = (x) называются взаимно обратными.

Примеры.

1) y = , X = [0, +¥),

x = , Y = [0, +¥).

(рисунок)

2) y = , X = (-¥, ¥).

Эта функция обратной не имеет.

(рисунок)

Теорема 3.5

Пусть функция y = f (x) определена, непрерывна и строго монотонна на [ a, b ].

Тогда множеством её значений является сегмент Y = [ f (a), f (b)], на сегменте Y существует обратная функция х =
(у), строго монотонная и непрерывная.