Дробно-рациональное Z-преобразование. Диаграмма нулей и полюсов. Связь со спектром последовательности

Дробно-рациональные функции можно представить в виде: . Разлагая полиномы на множители, можно привести его к виду , где – нули и – полюсы.

-преобразование полностью описывается своими полюсами и нулями. На их основе строят диаграмму:

Область сходимости ограничивается полюсами

а) Если последовательность левосторонняя, то ее радиус сходимости определяется самым ближним полюсом к точке начала координат

б) Если последовательность правосторонняя, радиус больше самого дальнего полюса, сходимость вне круга

в) Для конечной последовательности сходимость в кольце

Для дробно-рациональной никогда не включается граница

Спектр последовательности есть ее -преобразование, вычисленное на единичной окружности (справедливо, когда единичная окружность находится в области сходимости -преобразования): при .

Если область сходимости не включает единичную окружность, то спектр последовательности не определен, однако -преобразование существует.