Линейное (векторное) пространство

Пусть множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:

паре элементов множества , отвечает элемент , называемый суммой и ;

паре , отвечает элемент , называемый произведением числа и элемента .

Будем называть множество линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов и произвольных чисел справедливо:

, сложение коммутативно;

, сложение ассоциативно;

существует единственный нулевой элемент такой, что , ;

для каждого элемента существует единственный противоположный элемент такой, что ,

, умножение на число ассоциативно;

, ;

, умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

, умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Равенства 1--8 называют аксиомами линейного пространства.

Линейное пространство часто называют векторным пространством, а его элементы -- векторами.