Классификация моделей по принадлежности к иерархическому уровню

Микро уровень используется для описания объектов в процессах для отображения физических процессах, протекающих в непрерывном пространстве и времени (Процессы в сплошной среде). Математически модель на микро-уровне описывается в виде дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). Решаются эти модели методом конечной разности, граничных элементов. Для электроники базовым уравнением является уравнение теплопроводности, уравнение Пуассона.

В общем случае форма записи для УЧП

L*j (Z)= f (Z), где

Z – вектор независимых параметров (Z(t, X₁, X₂, X₃))

f(Z) – внешние воздействие на сплошную среду

j(Z) – уравнение учитывающее физическую среду рассматриваемого объекта

L – частная производная(оператор дифференцирования)

Если из уравнения исключить время t, то уравнение будет стационарным. Вместо трех пространственных координат можно использовать одну или две.

Пример: уравнение теплопроводности. Это уравнение является нестационарным и одномерным ðТ/ðt – αt * ð²Т/ðx² = 0,

где Т – температура, L = ð /ðt – αt * ð²Т/ðx², φ(Z) = T(t,x), f(Z) = 0, Z = (t,x).

Возможности ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными компонентами (фрагментами). С увеличением размерностей решаемых задач анализ ММ на микроуровне приводит к чрезмерным вычислительным затратам, поэтому вводят какие-либо упрощения или допущения и переходят к следующему уровню описания. Осуществляется переход от непрерывного к дискретному пространству при сохранение непрерывного времени.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданными начальными условиями.

- В этих уравнениях независимой переменной является время, а зависимыми переменными являются переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов, например силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т.п.

- Системы ОДУ строятся на основе компонентных уравнений для дискретных элементов и топологических уравнений, указывающих связи между элементами. На этом уровне возможно единое математическое и программное обеспечение для разных классов технических объектов.

- Для узлов ЭВМ непрерывные модели формируются на основе компонентных, например:

i(t) = U(t)/R, i(t) = C dU/dt, U(t) = L di/dt

Используя топологические связи (например, для метода узловых потенциалов), можно получить систему дифференциальных уравнений:

F(U‘,U,t) = 0, где U‘ = dU/dt или U‘ = f(U,t)

- При повышении размерностей решаемых уравнений, оперировать моделью становится затруднительным, и поэтому обычно переходят к следующему, более высокому уровню.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности компонентов. В моделях отражаются процессы преобразования информации, а не сигналов, как на макроуровне.

Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Применяют:

- системы ОДУ (с переменными, относящимися к выводам компонента)

-функциональное моделирование, развитое для анализа систем автоматического управления (САУ)

- моделями систем массового обслуживания (СМО)

- сети Петри.