Производные и дифференциалы высших порядков. Дайте определение производных высших порядков, дифференциалов высших порядков

Дайте определение производных высших порядков, дифференциалов высших порядков.

Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n³2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dⁿy)По определению dⁿy= d(d^n-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dⁿy=f⁽ⁿ⁾(х)dxⁿ, в предположении, что n-ая производная f⁽ⁿ⁾(х) сущ-ет, поэтому понятно, чтоn-e. Производную обозначают так

Теорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g '(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c Î(a,b), что выполняется равенство

Теорема Лагранжа: Если функция у=f(х) неперырвна на отрезке [a,b], дифференцируема хотя бы в интервале (a,b) то существует такая точка c Î(a,b), что f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

Доказательство: Применим теорему Коши к функциям f(x) и g(x)=x. Для них все условия этой теоремы выполняются, включая требование g'(х)¹0. Учитывая, что g(b)=b, g(a)=a, g'(x)=1

4. Изложите алгоритм исследования функций с помощью производных для построения графика.

1. Нахождение области определения функции.

2. Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.

3. Исследование функции на четность или нечетность.

4. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.

o во-первых, находим производную;

o во-вторых, находим критические точки;

o в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;

o в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.

5. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

6. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

7. Вычисляем значения функции в промежуточных точках.

8. Построение графика.

5. Дайте определение функции многих переменных.

Определение. Переменная называется функцией переменных и , если каждой паре значений и в некоторой области их изменения поставлено одно значение . Такую зависимость обозначают . Аналогично определяются функции трех и более аргументов.

6. Раскройте понятие частной производной первого и второго порядка функции многих переменных, полного дифференциала первого порядка.

Определение. Предел называется частной производной функции по переменной . Частная производная обозначается или . Аналогично определяется и обозначается частная производная по .

Теорема. Частная производная в точке равняется тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику кривой в точке .

Частная производная от частной производной первого порядка называется частной производной второго порядка и так далее.

Определение. Полным дифференциалом называется .

7. Изложите алгоритм нахождения экстремума функции многих переменных.

Функция z = f(x,y) имеет максимум в точке M₀(x₀;y₀), если f(x₀;y₀) > f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x₀;y₀) и отличных от неё.
Функция z = f(x,y) имеет минимум в точке M₀(x₀;y₀), если f(x₀;y₀) < f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x₀;y₀) и отличных от неё.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.