 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Напряженность и потенциал электростатического поля
|
|
Электростатический потенциа́л (см. также кулоновский потенциал) — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измеренияпотенциала является, таким образом, единица измерения работы, деленная на единицу измерения заряда (для любой системы единиц; подробнее о единицах измерения — см. ниже).
Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о потенциале без уточняющих прилагательных.
Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:
Напряжённость электростатического поля 
и потенциал 
связаны соотношением[1]
или обратно[2]:
Здесь 
— оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.
Воспользовавшись этим соотношением и теоремой Гаусса для напряжённости поля 
, легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. В единицах системы СИ:
где 
— электростатический потенциал (в вольтах), 
— объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а 
— диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).
4) Графическое изображение электрического поля
Электрическое поле изображается графически с помощью так называемых силовых линий
Фарадей изображал электрическое поле наглядно, графически, с помощью силовых линий – касательные к которым направлены как сила, по направлению совпадают с напряженностью. Поле точечного заряда. Силовые линии условно начинают на положительных зарядах и заканчивают на отрицательных. Напряженность поля можно связать с густотой силовых линий, они гуще, где больше напряженность, и не пересекаются, иначе бы она не имела определенного направления.
Поля точечных положительных и отрицательных зарядов, одного и разного знака показаны на рис.8.8.
Систему двух противоположных зарядов (-q+q)на расстоянииlназывают электрическим диполем и характеризуютэлектрическим дипольным моментом d=ql (направленным по оси -+).
Эти моменты могут характеризовать поле атомов и молекул (11.), определяют полярность, поляризацию и диэлектрическую проницаемость веществ, изменяющие силы (ε).
Кулоновские силы и напряженности электрического поля подчиняются принципу суперпозиции, равны геометрической сумме составляющих, созданных каждым зарядом в отдельности: Е=Е1+Е2+…+Еn (как будто другие заряды не влияют на поле каждого).
5) Принцип суперпозиции
При́нцип суперпози́ции — один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:
· результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.
Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что напряженность электростатического поля, создаваемого в данной точке системой зарядов, есть сумма напряженностей полей отдельных зарядов.
Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:
· Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.
· Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий.
· Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.
Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.
6) Связь напряженности и потенциала
Разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в одной и той же точке поля разными энергиями W', W'' и так далее. Однако отношение 
будет для всех зарядов одним и тем же. Поэтому можно вести скалярную величину, являющуюся энергетической характеристикой собственно поля – потенциал:
| (3.3.1) |
Из этого выражения следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.
Подставив в (3.3.1.) значение потенциальной энергии (3.2.4), получим для потенциала точечного заряда следующее выражение:
| (3.3.2) |
Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постоянной интегрирования. Поскольку физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю. Когда говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность. Другое определение потенциала:
,
т.е. потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность (илинаоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля). При этом 
, если q > 0.
Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получаем:
| (3.3.3) |
Тогда и для потенциала 
или<
 ,
| (3.3.4) |
т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности <. А вот напряженности складываются при наложении полей – векторно. По этой причине потенциалы полей считать проще, чем напряженности.
Вернемся к работе сил электростатического поля над зарядом q. Выразим работу через разность потенциалов между начальной и конечной точками:
| (3.3.5) |
Таким образом, работа над зарядом q равна произведению заряда на убыль потенциала. То есть
| (3.3.6) |
где U – напряжение.
(Между прочим, хорошая аналогия с гравитационным полем:
,
здесь gh – имеет смысл потенциала, а m – заряда гравитационного поля).
Итак, потенциал – скалярная величина, поэтому пользоваться и вычислять φ проще, чем 
. Приборы для измерения разности потенциалов широко распространены.
Формулу 
можно использовать для установления единиц потенциала: за единицу φ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице.
В СИ – единица потенциала 
.
7) Циркуляция вектора напряженности электростатического поля -?
Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 132) перемещается другой точечный заряд Q 0, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении d l равна
Так как d/cosa=d r, то
Работа при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2
(83.1)
не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.
8) Поток вектора напряженности электрического поля
Как и для любого векторного поля важно рассмотреть свойства потока электрического поля. Поток электрического поля определяется традиционно.
Выделим малую площадку площадью Δ S, ориентация которой задается единичным вектором нормали n ⃗ (рис. 157).
В пределах малой площадки электрическое поле можно считать однородным [1], тогда поток вектора напряженности Δ Ф E определяется как произведение площади площадки на нормальную составляющую вектора напряженности
ΔΦ E = E cos α Δ S =(E ⃗ ⋅ n ⃗)Δ S = En Δ S. (1)
где (E ⃗ ⋅ n ⃗)= E cos α — скалярное произведение векторов E ⃗ и n ⃗; E n — нормальная к площадке компонента вектора напряженности.
В произвольном электростатическом поле поток вектора напряженности через произвольную поверхность, определяется следующим образом (рис. 158):
- поверхность разбивается на малые площадки Δ S (которые можно считать плоскими);
- определяется вектор напряженности E ⃗ на этой площадке (который в пределах площадки можно считать постоянным);
- вычисляется сумма потоков через все площадки, на которые разбита поверхность
Φ=ΔΦ1+ΔΦ2+ΔΦ3+…=∑ i ΔΦ i =∑ iEi cos αi Δ Si.
Эта сумма называется потоком вектора напряженности электриче-ского поля через заданную поверхность. Трудно найти явный физический смысл этой величины, но как мы указывали, поток векторного поля является полезной вспомогательной математической величиной.
Рассмотрим электрическое поле точечного заряда Q (рис. 159). Это поле обладает сферической симметрией — модуль вектора напряженности зависит только от расстояния для заряда, в любой точке вектор напряженности направлен радиально, вдоль прямой, соединяющей заряд с точкой наблюдения.
Окружим заряд сферой, произвольного радиуса R, центр которой совпадает с точечным зарядом. Во всех точках поверхности сферы вектор напряженности электрического поля направлен вдоль нормали к поверхности сферы (поэтому угол между ними равен нулю), его модуль постоянен и по закону Ш. Кулона равен
E = Q 4 πε 0 R 2.
Выделим на поверхности сферы малую площадку площадью Δ S i, поток вектора напряженности через эту площадку равен
ΔΦ i = Q 4 πε 0 R 2Δ Si.
Так как модуль вектора напряженности во всех точках сферы одинаков, суммирование потоков через поверхность сферы, сводится к суммированию площадей участков, на которые разбивается сфера. Вычислим поток вектора напряженности
Φ E =∑ iQ 4 πε 0 R 2Δ Si = Q 4 πε 0 R 2∑ i Δ Si = Q 4 πε 0 R 2⋅4 πR 2= Qε 0, (2)
здесь ∑ i Δ Si =4 πR 2 — площадь поверхности сферы. Обратите внимание, что этот поток не зависит от радиуса сферы. Итак, поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через поверхность сферы равен отношению заряда к электрической постоянной.
9) Теорема Гаусса в интегральной форме и ее применение для расчета электрических полей
Теорема Гаусса (закон Гаусса) — один из основных законов электродинамики, входит в систему уравнений Максвелла. Выражает связь (а именно равенство с точностью до постоянного коэффициента) между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченном этой поверхностью. Применяется отдельно для вычисления электростатических полей.
Аналогичная теорема, также входящая в число уравнений Максвелла, существует и для магнитного поля (см. ниже).
Также теорема Гаусса верна для любых полей, для которых верен закон Кулона или его аналог (например, для ньютоновской гравитации). При этом она является, как принято считать, более фундаментальной, так как позволяет в частности вывести степень расстояния[1] в законе Кулона «из первых принципов», а не постулировать ее (или не находить эмпирически).
В этом можно видеть фундаментальное значение теоремы Гаусса (закона Гаусса) в теоретической физике.
Существуют аналоги (обобщения) теоремы Гаусса и для более сложных полевых теорий, чем электродинамика.
10) Вычисление разности потенциалов по напряженности поля
| тело | разность потенциалов |
Бесконечная заряженная плоскость
| 
|
Две параллельных бесконечных плоскости
| 
|
Сферическая поверхность радиуса R
 (r  R)
 ( )
| 
Если  и  , то потенциал вне сферы: 
Внутри сферы потенциал одинаков и равен: 
|
Объемно заряженный шар
 (r R)
 
| Разность потенциала между точками за пределами шара определяется так же как и для сферы:
Внутри шара разность потенциалов равна:
|
Или
Напряжённость, силовая характеристика поля, и разность потенциалов, его энергетическая характеристика, связаны однозначно. Вычислим работу поля при малом перемещении заряда двумя способами:
A=qEΔlcosα=qElΔl;где α - угол между векторами напряжённости и перемещения, El - проекция напряжённости на перемещение.
A=-qΔφ.
Приравнивая, получаем:
ElΔl=-Δφ=U.
Зная напряжённость в каждой точке, можно вычислить разность потенциалов между любыми точками. Зная разность потенциалов между любыми точками, можно вычислить проекцию напряжённости на направление между ними.
El=-Δφ/Δl=U/Δl.
Отсюда следует,что напряжённость направлена в сторону убывания потенциала. Эта формула позволяет также определить вторую единицу напряжённости - вольт на метр (В/м). 1В/м=1Н/Кл.
дополнительно(При перемещении заряда под прямым углом к линиям напряжённости работа поля равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению. Следовательно, все точки поверхности, перпендикулярной в каждой точке линиям напряжённости имеют одинаковый потенциал. Такие поверхности называют эквипотенциальными. Эквипотенциальные поверхности, как и силовые линии, позволяют наглядно представить электрическое поле.
Эквипотенциальные поверхности однородного поля - параллельные плоскости, точечного заряда - концентрические сферы. Поверхность любого проводника является эквипотенциальной, так как напряжённость направлена перпендикулярно ей. Потенциал всех точек внутри проводника одинаков, потому что, раз напряжённость поля в проводнике равна нулю, то равна нулю и разность потенциалов.
Разность потенциалов и напряжённость являются количественными характеристиками поля. Напряжённость более наглядна и указывает направление силы, действующей на заряд. Но разность потенциалов тоже имеет свои преимущества. Разность потенциалов легче измерить, чем напряжённость. Потенциал - скаляр, поэтому задаётся одним числом, а напряжённость - вектор, поэтому задаётся тремя числами - проекциями на оси кооординат. Многие процессы и величины (например, сила тока) определяются не силой, действующей со стороны поля, а его энергией и работой, то есть разностью потенциалов.)
11) Электрическое поле диполя
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 3338 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
