Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А_x и В_x. Длина отрезка А_xВ_x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

S_x = A_xB_x

ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, S_x). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

S_x = x – x₀

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

S_y = y – y₀

S_z = z – z₀

Здесь x₀, y₀, z₀ - начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z - конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х₀ и у₀, то есть А(х₀, у₀). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

S_x = x – x₀

S_y = y – y₀

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

АС = s_x

CB = s_y

По теореме Пифагора

S² = S_x² + S_y²

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

11) Основные кинематические характеристики движения: скорость и ускорение

Основными кинематическими характеристиками движущейся точки являются её скорость и ускорение, значения которых определяются по уравнениям движения через первые и вторые производные по времени от s или от х, у, z, или от r (см. Скорость, Ускорение).

Способы задания движения твёрдого тела зависят от вида, а число уравнений движения — от числа степеней свободы тела (см.Степеней свободы число). Простейшими являются Поступательное движение и Вращательное движение твёрдого тела. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, и его движение задаётся и изучается так же, как движение одной точки. При вращательном движении вокруг неподвижной оси z (рис. 3) тело имеет одну степень свободы; его положение определяется углом поворота φ, а закон движения задаётся уравнением φ = f (t). Основными кинематическими характеристиками являются угловая скорость ω=dφ/dt и угловое ускорение ε = dω/dt тела. Величины ω и ε изображаются в виде векторов, направленных вдоль оси вращения. Зная ω и ε, можно определить скорость и ускорение любой точки тела.

Более сложным является движение тела, имеющего одну неподвижную точку и обладающего 3 степенями свободы (например,Гироскоп, или волчок). Положение тела относительно системы отсчёта определяется в этом случае какими-нибудь 3 углами (например, Эйлера углами: углами прецессии, нутации и собственного вращения), а закон движения — уравнениями, выражающими зависимость этих углов от времени. Основными кинематическими характеристиками являются мгновенная угловая скорость ω и мгновенное угловое ускорение ε тела. Движение тела слагается из серии элементарных поворотов вокруг непрерывно меняющих своё направление мгновенных осей вращения ОР, проходящих через неподвижную точку О (рис. 4).

Самым общим случаем является движение свободного твёрдого тела, имеющего 6 степеней свободы. Положение тела определяется 3 координатами одной из его точек, называемых полюсом (в задачах динамики за полюс принимается центр тяжести тела), и 3 углами, выбираемыми так же, как для тела с неподвижной точкой; закон движения тела задаётся 6 уравнениями, выражающими зависимости названных координат и углов от времени. Движение тела слагается из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг этого полюса, как вокруг неподвижной точки. Таким, например, является движение в воздухе артиллерийского снаряда или самолета, совершающего фигуры высшего пилотажа, движение небесных тел и др. Основными кинематическими характеристиками являются скорость и ускорение поступательной части движения, равные скорости и ускорению полюса, и угловая скорость и угловое ускорение вращения тела вокруг полюса. Все эти характеристики (как и кинематические характеристики для тела с неподвижной точкой) вычисляются по уравнениям движения; зная эти характеристики, можно определить скорость и ускорение любой точки тела. Частным случаем рассмотренного движения является плосконаправленное (или плоское) движение твёрдого тела, при котором все его точки движутся параллельно некоторой плоскости. Подобное движение совершают звенья многих механизмов и машин.

В К. изучают также сложное движение точек или тел, то есть движение, рассматриваемое одновременно по отношению к двум (и более) взаимно перемещающимся системам отсчета. При этом одну из систем отсчета рассматривают как основную (ее еще называют условно неподвижной), а перемещающуюся по отношению к ней систему отсчёта называют подвижной; в общем случае подвижных систем отсчёта может быть несколько.

При изучении сложного движения точки её движение, а также скорость и ускорение по отношению к основной системе отсчёта называют условно абсолютными, а по отношению к подвижной системе — относительными. Движение самой подвижной системы отсчёта и всех неизменно связанных с ней точек пространства по отношению к основной системе называют переносным движением, а скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчёта, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка, называют переносной скоростью и переносным ускорением. Например, если основную систему отсчета связать с берегом, а подвижную с пароходом, идущим по реке, и рассмотреть качение шарика по палубе парохода (считая шарик точкой), то скорость и ускорение шарика по отношению к палубе будут относительными, а по отношению к берегу — абсолютными; скорость же и ускорение той точки палубы, которой в данный момент касается шарик, будут для него переносными. Аналогичная терминология используется и при изучении сложного движения твёрдого тела.

12) Нормальное и тангенциальное ускорение

При криволинейном движении скорость направлена по касательной к траектории. Поскольку направление скорости постоянно изменяется, то криволинейное движение - всегда движение с ускорением, в том числе, когда модуль скорости остается неизменным

В общем случае ускорение направлено под углом к скорости. Составляющая ускорения, направленная вдоль скорости, называется тангенциальным ускорением . Она характеризует изменение скорости по модулю.

Составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории, т.е. перпендикулярно (нормально) скорости, называется нормальным ускорением . Она характеризует изменение скорости по направлению.

Здесь R - радиус кривизны траектории в данной точке. Тангенциальное и нормальное ускорение взаимноперпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения

13) Кинематика вращательного движения: угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейной скоростью и ускорением

Часто для наглядного представления движения точки пользуются графиками перемещения, скорости и ускорения в функции от времени в прямоугольных координатных осях.

Рассмотрим кинематические графики для равномерного движения. Независимо от того, является оно прямолинейным или криволинейным, мы имеем для него следующие уравнения:

Из этих уравнений следует, что график перемещения равномерного движения является прямой, отсекающей на оси ординат величину s0, т. е. величину перемещения точки в начале движения от начала отсчета (рис.а).

График скорости изображается прямой линией, параллельной оси абсцисс, так как скорость равномерного движения точки — постоянная величина v = const (рис.б).

Рассмотрим кинематические графики для равнопеременного движения. Каким бы ни было это движение — прямолинейным или криволинейным, — для него справедливы уравнения:

График перемещения равнопеременного движения является криволинейным — параболическим, так как он соответствует уравнению параболы (рис. а, б).

На оси ординат эти графики отсекают при t = О величины, соответствующие расстоянию в начале движения от начала отсчета s0.

График скорости изображается прямой, наклоненной к оси абсцисс (рис. в, г), и отсекает на оси ординат (при t = 0) величину начальной скорости v0.

График ускорения равномерно-переменного движения изображается линией, параллельной оси абсцисс (оси времени) — (рис. д, е.)

При равномерно-ускоренном движении график ускорения располагаем выше оси абсцисс. При равномерно-замедленном движении — ниже (рис. е). При равномерно-замедленном движении значение скорости убывает. Это наглядно видно из (рис. г). Возможен случай, когда скорость, уменьшаясь, достигает нулевого значения (точка М на рис. г). Затем скорость изменяет свой знак и по абсолютному значению начинает увеличиваться. Здесь по существу происходит переход равномерно-замедленного движения в равномерно-ускоренное. Именно такое явление и происходит для случая, изображенного на (рис. б, д) при t = tA, т. е. при изменении алгебраического знака скорости.

Между кинематическими графиками существует определенная взаимосвязь. Так, для равномерного движения график скорости изображается линией, параллельной оси абсцисс, а график расстояния — прямой наклонной линией. Для равнопеременного движения график ускорения является прямой, параллельной оси абсцисс, график скорости — наклонная прямая, а график расстояний — параболическая кривая. Эта взаимосвязь графиков следует непосредственно из дифференциальных зависимостей, связывающих ускорение, скорость и расстояние:

Учитывая аналогию в уравнениях движения точки и уравнениях вращения тела, графическую интерпретацию можно использовать при исследовании вращательного движения, являющегося основным в технике. Здесь вместо расстояния будет фигурировать угол поворота, вместо скорости — угловая скорость, вместо ускорения — угловое ускорение.

14) Масса

физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая её инерционные и гравитационные свойства. Соответственно различают М. инертную и М. гравитационную (тяжёлую, тяготеющую).

Понятие М. было введено в механику И. Ньютоном. В классической механике Ньютона М. входит в определение импульса (количества движения (См. Количество движения)) тела: импульс p пропорционален скорости движения тела v,

p = mv. (1)

Коэффициент пропорциональности — постоянная для данного тела величина m — и есть М. тела. Эквивалентное определение М. получается из уравнения движения классической механики

f = ma. (2)

Здесь М. — коэффициент пропорциональности между действующей на тело силой f и вызываемым ею ускорением тела a. Определённая соотношениями (1) и (2) М. называется инерциальной массой, или инертной массой; она характеризует динамические свойства тела, является мерой инерции тела: при постоянной силе чем больше М. тела, тем меньшее ускорение оно приобретает, то есть тем медленнее меняется состояние его движения (тем больше его инерция).

Действуя на различные тела одной и той же силой и измеряя их ускорения, можно определить отношения М. этих тел: m₁: m₂: m₃... = a₁: a₂: a₃...; если одну из М. принять за единицу измерения, можно найти М. остальных тел.

В теории гравитации Ньютона М. выступает в другой форме — как источник поля тяготения. Каждое тело создаёт поле тяготения, пропорциональное М. тела (и испытывает воздействие поля тяготения, создаваемого другими телами, сила которого также пропорциональна М. тел). Это поле вызывает притяжение любого другого тела к данному телу с силой, определяемой Ньютона законом тяготения (См.Ньютона закон тяготения):

где r — расстояние между телами, G — универсальная Гравитационная постоянная, a m₁ и m₂ — М. притягивающихся тел. Из формулы (3) легко получить формулу для Веса Р тела массы m в поле тяготения Земли:

Р = m · g. (4)

Здесь g = G · M / r² — ускорение свободного падения в гравитационном поле Земли, а r ≈ R — радиусу Земли. М., определяемая соотношениями (3) и (4), называется гравитационной массой тела.

Единицей М. в СГС системе единиц служит Грамм, а в Международной системе единиц (См. Международная система единиц) СИ — Килограмм. М. атомов и молекул обычно измеряется в атомных единицах массы (См. Атомные единицы массы). М. элементарных частиц принято выражать либо в единицах М. электрона m _e, либо в энергетических единицах, указывая энергию покоя соответствующей частицы. Так, М. электрона составляет 0,511 Мэв, М. протона — 1836,1 m _e, или 938,2 Мэв и т. д.

Природа М. — одна из важнейших нерешенных задач современной физики. Принято считать, что М. элементарной частицы определяется полями, которые с ней связаны (электромагнитным, ядерным и другими). Однако количественная теория М. ещё не создана. Не существует также теории, объясняющей, почему М. элементарных частиц образуют дискретный спектр значений, и тем более позволяющей определить этот спектр.

В астрофизике М. тела, создающего гравитационное поле, определяет так называемый Гравитационный радиус тела R _гр = 2GM/c². Вследствие гравитационного притяжения никакое излучение, в том числе световое, не может выйти наружу, за поверхность тела с радиусом R ≤ R _гр. Звёзды таких размеров будут невидимы; поэтому их назвали «чёрными дырами (См. Чёрная дыра)». Такие небесные тела должны играть важную роль во Вселенной.

15) Сила

Силы в механике
	Сила тяготения	Сила упругости	Сила трения (сухого и жидкого)
Природа взаимодействия	Гравитационная	Электромагнитная	Электромагнитная
Формула для расчета силы			; ;
Зависимость силы от расстояния или относительной скорости	Является функцией расстояния между взаимодействующими телами		Является функцией скорости относительного движения
Зависимость силы от массы взаимодействующих тел	Прямопропорциональна массам взаимодействующих тел	Не зависит	Не зависит
Направление вектора силы	Вдоль прямой, соединящей взаимодействующие тела	Противоположно направлению перемещения частиц при деформации	Противоположно направлению вектора скорости Vоm
Сохранение значения силы при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую	Сохраняет, так как расстояние Rне изменяется	Сохраняет, так как деформация х не изменяется	Сохраняет, так как модуль относительной скорости Vоm не изменяется
Условия применимости формулы	Материальные точки или сферически симметричные шары	Достаточно малая величина деформации	Формула выполняется приближенно, так как сила сухого трения зависит от скорости. При жидком трении до определенной скорости выполняется формула , а затем

16) Законы Ньютона

I закон Ньютона

Существуют такие системы отсчета, которые называются инерциальными, относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действие других сил скомпенсированно.

II закон Ньютона

Ускорение тела прямопропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе:

III закон Ньютона

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

17) Границы применимости законов Ньютона

До конца прошлого столетия никто не сомневался в абсолютной правильности законов Ньютона. Однако в XX в. выяснилось, что эти законы все-таки не абсолютно точны.

Ими нельзя пользоваться, когда тела движутся с очень большими скоростями, которые сравнимы со скоростью света. Альберт Эйнштейн, которого называют Ньютоном XX в., сумел сформулировать законы движения, справедливые и для движения со скоростями, близкими к скорости света.

Эти законы лежат в основе так называемой релятивистской механики или теории относительности. А законы Ньютона представляют собой следствие этих законов, когда скорости тел малы по сравнению со скоростью света.

Законы Ньютона нельзя применять и при рассмотрении движения внутриатомных частиц. Такие движения описываются законами квантовой механики, в которой классическая механика рассматривается как частный случай.

Законы сохранения импульса и энергии, выведенные из законов Ньютона, справедливы и в квантовой механике, и в теории относительности. Механика лежит в основе всего естествознания.

18) Сила трения

Сила, возникающая в месте соприкосновения тел и препятствующая их относительному переме­щению, называется силой трения. Направление силы трения противоположно направлению движения. Различают силу трения покоя и силу трения скольжения.

Если тело скользит по какой-либо поверхности, его движению препятствует сила трения скольжения.

, где N — сила реакции опоры, a μ — коэффициент трения скольжения. Коэф­фициент μ зависит от материала и качества обработки соприкасающихся поверхностей и не зависит от веса тела. Коэффициент трения определяется опытным путем.

Сила трения скольжения всегда направлена противоположно движению тела. При изменении на­правления скорости изменяется и направление си­лы трения.

Сила трения начинает действовать на тело, когда его пытаются сдвинуть с места. Если внешняя сила F меньше произведения μN, то тело не будет сдвигаться — началу движения, как принято гово­рить, мешает сила трения покоя. Тело начнет дви­жение только тогда, когда внешняя сила F превы­сит максимальное значение, которое может иметь сила трения покоя

Трение покоя – сила трения, препятствующая возникновению движению одного тела по поверхности другого.

В некоторых случаях трение полезно (без трения невозможно было бы ходить по земле человеку, жи­вотным, двигаться автомобилям, поездам и т.д.), в таких случаях трение усиливают. Но в других слу­чаях трение вредно. Например, из-за него изнаши­ваются трущиеся детали механизмов, расходуется лишнее горючее на транспорте и т.д. Тогда с трением борются, применяя смазку («жидкостную или воздушную подушку») или заменяя скольжение на качение (поскольку трение качения характеризует­ся значительно меньшими силами, нежели трение скольжения).

Силы трения, в отличие от гравитационных сил и сил упругости, не зависят от координат относительного расположения тел, они могут зависеть от скорости относительного движения соприкасающихся тел. Силы трения являются непотенциальными силами.

Сила трения покоя (υ = 0).

19) Сила упругости

Сила, возникающая в результате деформации тела и направленная в сторону, противоположную перемещению частиц тела при деформации, называется силой упругости.

В элементарном курсе физики рассматриваются деформации растяжения или сжатия. В этих случаях силы упругости направлены вдоль линии действия внешней силы, т.е. вдоль осей продольно деформируемых нитей, пружин, стержней и т. п., или перпендикулярно к поверхностям соприкасающихся тел.

Деформацию растяжения или сжатия характе­ризует абсолютное удлинение: где х₀ — первоначальная длина образца, х — его дли­на в деформированном состоянии. Относительным удлинением тела называют отношение .

Сила упругости, действующая на тело со стороны опоры или подвеса, называется силой реакции опоры (подвеса) или силой натяжения подвеса.

Закон Гука: Сила упругости, возникающая в теле при его деформации растяжения или сжатия, пропорциональна абсолютному удлинению тела и направлена противоположно направлению перемещения частиц тела относительно других частиц при деформации:

.

Здесь х – удлинение тела (пружины) (м). Удлинение положительно при растяжении тела и отрицательно при сжатии.

Коэффициент пропорциональности k называет­ся жесткостью тела, он зависит от материала, из которого тело изготовлено, а также от его геоме­трических размеров и формы. Жесткость выражается в ньютонах на метр (Н/м).

Сила упругости зависит только от изменения расстояний между взаимодействующими частями данного упругого тела. Работа силы упругости не зависит от формы траек­тории и при перемещении по замкнутой траектории равна нулю. Поэтому силы упругости является потенциальными силами.

20) Гравитационная сила

Гравита́ция (всемирное тяготение, тяготение) —фундаментальное взаимодействие в природе, которому подвержены все тела, имеющие массу. Главным образом, гравитация действует в масштабах космоса. Термин гравитация используется также как название раздела в физике, изучающего гравитационное взаимодействие.

Гравитационная постоянная

Из (2.26) при m₁=m₂=m имеем

G=Fr²/m².

Из этой формулы видно, что гравитационная постоянная численно равна силе взаимного тяготения двух материальных точек, имеющих массы, равные единице массы, и находящихся друг от друга на расстоянии, равном единице длины.
Числовое значение гравитационной постоянной устанавливают экспериментально. Впервые это сделал английский ученый Кэвендиш с помощью крутильного динамометра (крутильных весов).

В СИ гравитационная постоянная имеет значение

G = 6,67·10^-11 Нм²/кг².

Следовательно, две материальные точки массой 1 кг каждая, находящиеся друг от друга на расстоянии 1 м, взаимно притягиваются гравитационной силой, равной 6,67·10^-11 Н.

21) Закон всемирного тяготения

В 1687 г. Ньютон установил один из фундаментальных законов механики, получивший название закона всемирного тяготения: любые две материальные частицы притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Эту силу называют силой тяготения (или гравитационной силой).