Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

(141.3) (141.4)

Потенциальная энергии материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

(141.5) (141.6)

Затухающие колебания.

Дифференциальное уравнения затухающих колебания и его решение. Амплитуда и частота затухающих колебаний. Декремент, логарифмический декремент затухания, время релаксации, добротность.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.

Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания

.

Решение

Каким будет его решение? При (отсутствие сопротивления, трения) оно должно переходить в (см. 14.2).

Наличие затухания, потерь энергии, переход ее из электромагнитной или механической в тепловую приведет к уменьшению амплитуды колебаний с течением времени, станет другой, меньшей чем ω₀, и частота колебаний.

Предположим, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону, т.е. A(t) = A₀·e^-βt (e=2,71828...),

тогда решение будем искать в виде:

.

Добро́тность — характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

— резонансная частота колебаний

— энергия, запасённая в колебательной системе

— рассеиваемая мощность.

Время релаксации — это время, за которое система достигнет своего равновесного состояния, если бы не было рассеивания энергии (или время за которое амплитуда колебаний уменьшится в раз).

Таким образом, решение уравнения * в случае малых затуханий ()

x = A₀ e^{-d t} cos (w t + j).

Где A₀ e^{-d t} - амплитуда затухающих колебаний, а А₀ — начальная амплитуда.

называется декрементом затухания, а его логарифм

,

где Q - логарифмическим декрементом затухания;

N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной колебательной системы величина.