Метод золотого сечения. Из каждых трех значений целевой функции, вычисленных в интервале неопределенности, в дальнейшем используются только два

Из каждых трех значений целевой функции, вычисленных в интервале неопределенности, в дальнейшем используются только два, а третье не дает

Рис. 5.8 Обозначения, используемые в методе золотого сечения

дополнительной информации и в дальнейшем не используется. В методе золотого сечения целевая функция вычисляется в точках интервала неопределенности, расположенных таким образом, чтобы каждое вычисленное значение целевой функции давало новую полезную информацию.

Сущность этого метода состоит в следующем. Интервал неопределенности делится на две неравные части так, что отношение длины большого отрезка к длине всего интервала равно отношению длины меньшего отрезка к длине большего отрезка. На рис. 5.8 показан интервал неопределенности Z, состоящий из отрезков z₁ и z₂, отношение длин которых опдеделяется правилом золотого сечения

Кроме того, z₁ +z₂= Z. Из первого уравнения следует!!!вверху 2 внизу 1!!!!!!z=Zz₂. Подставляя сюда значение Z из второго уравнения и деля обе части на z вверху 2 внизу 1!!!!!, получаем

Решая это квадратное уравнение, находим для положительного корня значение

На рис. 5.9 показано деление интервала неопределенности в этом отношении и нанесены соответствующие значения целевой функции, которые позволяют уменьшить интервал неопределен­ности в 1/0,618 раза. На этой стадии еще не видны преимущества метода золотого сечения по сравнению с методам дихотомии, однако они явно проявляются при дальнейшем делении интерва­ла, так как оказывается, что одно из значений целевой функции, которое требуется вычислить на следующем шаге,.уже известно.

Рис. 5.9 Метод золотого сечения

Поэтому, чтобы уменьшить неопределенность еще в 1/0,618 раза, потребуется дополнительно вычислить только одно значение це­левой функции в точке, определяемой правилом золотого сече­ния.

При п>2 эффективность метода золотого сечения выше, чем у метода дихотомии, так как при каждом последующем вычислении целевой функции интервал неопределённости сокращается в 1/0,618 раза. После вычисления N значений целевой функции коэффициент дробления интервала неопределенности составляет

f = 0,618^N-1

Метод золотого сечения позволяет подметить интересную закономерность: наибольшее сокращение последующих интервалов неопределенности достигается при вычислении целевой функции в точках, равноудаленных от его центра. Если поступать таким образом и каждый раз, вычисляя целевую функцию, сокращать интервал неопределенности, то будут справедливы следующие соотношения:

где Z _j - длина интервала неопределенности после вычисления J-го значения целевой функции. Отметим, что помимо метода золотого сечения существуют и другие методы поиска, основан­ные на вычислении целевой функции в точках, расположенных симметрично относительно центра интервала неопределенности. Для этих точек справедливы те же соотношения.