Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим пример. Требуется минимизировать функцию
F=4x1+x2
при ограничениях
3x1+x2=3,
4x1+3x2≥6,
x1+2x2≤4,
x1, x2 ≥0
Запишем задачу в стандартной форме
3x1+ x2 =3,
4x1+3x2-x3 =6,
x1+2x2 +x4=4,
Таким образом, имеются три уравнения и четыре неизвестных. В отличие от случая, когда каждое уравнение содержит остаточную переменную, в заданном случае уже нельзя быть уверенным в том, что при нулевом значении одной из переменных все базисные переменные будут неотрицательными. В этом случае используется метод искусственных переменных.
Искусственные переменные вводятся только для того, чтобы получить базисное решение.
В нашем примере в первом и втором уравнениях нет переменных, выполняющих роль остаточных. Поэтому введем в каждое из этих уравнений по одной искусственной переменной (R1 и R2):
3x1+x2 + R1 =3,
4x1+3x2-x3 + R2 =6,
x1+2x2 +x4=4,
За использование этих переменных в составе целевой функции нужно ввести штраф, приписывая им большой коэффициент М.
Тогда функция цели примет вид:
Min F=4x1+x2+MR1+MR2.
Начальное допустимое решение при этом будет
R1=3, R2=6 и x4=4.
Т.к. мы имеем дело с описанием минимума, а переменные R1 и R2 введены в функцию цели с большим коэффициентом М, то метод минимизации должен привести к тому, что в оптимальном решении они обратятся в ноль.
Для построения симплекс-таблицы выразим искусственные переменные через небазисные:
R1=3-3x1-x2
R2=6-4x1-3x2+x3
F=4x1+x2+M (3-3x1-x2) +M (6-4x1-3x2+x3) = (4-7M) x1+ (1-4M) x2+Mx3+9M
Тогда первая симплекс-таблица будет иметь вид
Базисные переменные | x1 | x2 | x3 | x4 | Решение | ||
F | -4+7M | -1+4M | -M | 9M | |||
R1 | |||||||
R2 | -1 | ||||||
x4 |
Далее решение ведется обычным образом. Оптимальному решению соответствует точка x1=2/5, x2=9/5, где F=17/5.
Отметим, что при максимизации F штраф М необходимо брать c обратным знаком.
Рассмотрим другой пример.
Max F=3x1+9x2
при условии
x1+4x2≤8,
x1+2x2≤4,
x1, x2 ≥0
Введя остаточные переменные x3 и x4, построим симплекс-таблицу
x1 | x2 | x3 | x4 | ||
F | -3 | -9 | |||
x3 | |||||
x4 |
x3- выводится, x2 вводится
На следующем шаге
x1 | x2 | x3 | x4 | ||
F | -3/4 | 9/4 | |||
x1 | ¼ | ¼ | |||
x4 | ½ | -1/2 |
x4- выводится, x1 - вводится
Получим
x1 | x2 | x3 | x4 | ||
F | 3/2 | 3/2 | |||
x2 | ½ | -1/2 | |||
x1 | -1 |
Заметим, что после двух итераций значение функции цели не уменьшилось (18). Т.е. налицо зацикливание. Что же это означает? Рассмотрим рис.2.3. Через точку оптимума проходят три прямые, а задача содержит только две переменные. Отсюда следует вывод, что одно из ограничений лишнее.
Max F=2x1+4x2
при условии
x1+2x2≤5,
x1 + x2≤4,
x1, x2 ≥0
|
|
Может быть, случай, когда решение отсутствует вообще.
Пример: Max F=3x1+2x2
при условии 2x1+ x2≤2,
x1+4x2≥12,
x1, x2 ≥0.
Рис.2.5 хорошо иллюстрирует суть дела.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 470 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!