Основные элементарные функции. Понятия сложной и обратной функций. Элементарные функции и их классификация

Функции, полученные с помощью четырех арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) или конечного числа композиций основных элементарных функций, называются элементарными.

Основные элементарные функции – функции вида:

1) Постоянные

2) Степенные

3) Показательные

4) Логарифмические

5) Тригонометрические

6) Обратная тригонометрические

Пусть задана функция y=f(x) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению y ∈ E соответствует единственное значение x ∈ D, то задана функция x=φ(y) c областью определения E и множеством значений D. Такая функция x=φ(y) называется обратной к функции y=f(x).

Пусть функция y=f(u) определена на множестве D₁, а функция u=φ(x) определена на множестве D, причем для каждого

x ∈ D соответствующее значение u= φ(x) ∈ D₁. Тогда на множестве D задана функция y=f(φ(x)), которая называется сложной функцией от x ∈ D.

Классификация элементарных функций.

1) Многочлены

2) Дробно-рациональные функции Рациональные функции

3) Иррациональные функции – функции, полученные с помощью 4 арифметических действий над рациональными композициями этих функций, но со степенным показателем функции.

4) Трансцендентные— аналитические функции, не являющиеся алгебраическими. Простейшими примерами трансцендентных функций служат показательная функция, тригонометрические функции, логарифмическая функция.

Функция от натурального аргумента (числовая последовательность). Пределы функции в точке и на бесконечности; предел числовой последовательности. Односторонние пределы функции в точке, их связь с пределом функции в точке.

Пусть множество — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью.

Число именуется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что из неравенства следует неравенство .

Символическая запись этого определения такова:

.

Геометрическое истолкование предела функции в точке даётся следующим образом. Имеем , то этот предел является единственным. Действительно, по определению функции при наличии двух пределов график функции не мог бы располагаться сразу внутри двух полос: , если .

Предел функции на бесконечности. Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство | f(x) – b | < e. Запись этого факта:

Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа e < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство | f(x) – b | < e. Записывается это так:

Число a называется пределом числовой последовательности x_n, если

Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности ∀ (вместо слова "для любого") и квантор существования ∃ (вместо слова "найдется").

Предел числовой последовательности обозначается или x_n→ a при. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Если при стремлении x к a переменная x принимает лишь значения, меньшие a или большие a и при этом f(x) стремится к A, то говорят, что существуют односторонние пределы функции, то есть lim_{x® a-0}f(x) = A – предел слева или lim_{x® a+0}f(x) = A – предел справа. Очевидно, что если lim_{x® a-0}f(x) = lim_{x® a+0}f(x) = A, то lim_{x® a} = A. Верно и обратное утверждение.