Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом max_{x О [a, b]} f(x), а наименьшее значение m — символом min_{x О [a, b]} f(x).

Теорема 3 (Больцано-Коши). Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения ƒ(a)=А и ƒ(b)=В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).

Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри

этого отрезка такая, что ƒ(с)=С. Прямая у=С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Теорема 1. Если функция y = f (x) строго возрастает (убывает) на множестве X, то для нее существует обратная функция x = f −1(y), которая определена на множестве Y = f (X) и является на Y строго возрастающей (убывающей).

Доказательство. По условию функция f строго возрастает на множестве X. Это значит для любых x 1, x 2∈ X и x 1< x 2 следует f (x 1)< f (x 2). Отсюда следует, что функция f обратима на X, следовательно, для нее существует обратная функция f −1: Y → X. Покажем, что функция f −1 строго возрастает на множестве Y. Пусть y 1 и y 2- любые точки из Y и y 1< y 2. Докажем, что x 1= f −1(y 1)< x 2= f −1(y 2). Допустим, что x 1≥ x 2. По условию функция f строго возрастает на X, поэтому из условия x 1≥ x 2 вытекает неравенство y 1= f (x 1)≥ y 2= f (x 2), что противоречит условию y 1< y 2.

Таким образом, условие строгой монотонности функции является достаточным для существования обратной функции.

Теорема 2. Если функция y = f (x) строго возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке I, то существует обратная функция x = f −1(y), которая определена на промежутке Ef = f (I) и является на Е, строго возрастающей (убывающей) и непрерывной.

Доказательство. Для определенности предположим, что функция f строго возрастает на промежутке I. По следствию из 2-ой теоремы Больцано-Коши область значений Ef = f (I) непрерывной функции f тоже есть промежуток. В силу строгого возрастания функции f для каждого y ∈ E существует единственная точка x ∈ I такая, что f (x)= y. Следовательно для функции f существует обратная функция f −1определенная на промежутке Е и с множеством значений I.

Покажем, что f −1 строго возрастает на Е. Пусть y 1 и y 2-- две произвольные точки из Е, такие, что y 1< y 2 и прообразами этих точек будут точки x 1и x 2. f −1(y 1)= x 1, и f −1(y 2)= x 2.

Поскольку f - строго возрастающая функция, то неравенство y 1= f (x 1)< f (x 2)= y 2 возможно тогда и только тогда когда x 1< x 2 или тоже самое, когда f −1(y 1)< f −1(y 2). В силу произвольности y 1 и y 2 ∈ E делаем вывод, что функция f −1 - строго возрастает на множестве Е. Что и требовалось доказать.