Формулы дифференцирования

Для вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.

<< Пример 20.10

Найти производную функции у=х⁴-3х³+2х-1.

Решение: у'=(х⁴-3х³+2х-1)'=(х⁴)'-(3х³)'+(2х)'-(1)'=4х³-3(х³)' Надо стараться обходиться без лишних записей.

<< Пример 20.11

Найти производную функции у=2х³/tg х

Решение:

Производная найдена. В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7.

<< Пример 20.12

Найти производную функции у=cos(ln¹²2x).

Решение: Коротко: у'=-sin(ln¹²2x)•12ln¹¹2x•1/2х•2.

Решение с пояснениями: данную функцию можно представить следующим образом: у=cos(u), u=t¹², t=ln(z), z=2x. Производную сложной функции найдем по правилу у'х=у'_u•u'_t•t'_z•z'_х (здесь промежуточных аргументов три):

у'х=-sinu•12•t¹¹•1/z•2,
у'х=-sint¹²•12•(lnz)¹¹•1/2x•2,
у'х=-sin(lnz)¹²•12•ln¹¹z•1/x,
у'х=-sin(ln¹²2x)•12•ln¹¹2x•1/x,
Окончательно
у'х=-12•sin(ln¹²2x)•ln¹¹2x•1/x

§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций