Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы

Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности.

Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность.

По формуле бинома Ньютона

Из равенства (15.3) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число 1/n — убывает, поэтому величины (1-1/n), (1-1/n),... возрастают.

Поэтому последовательность {х_n} = { (1+1/n)ⁿ }— возрастающая, при этом

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,..., стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Поэтому

Итак, последовательность ограничена, при этом для "n є N выполняются неравенства (15.4) и (15.5):

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой е:

Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение зэавно 2,72 {е=2,718281828459045..). Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается ln(x), т. е. Ln(x)=log_ex. Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем х=е^ln(x). Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:

Пользуясь десятичными логарифмами, находим lge ≈ 0,4343. Значит, lgx ≈ 0,4343•ln(х). Из этой формулы следует, что ln(x) ≈ 1/0.4343 lg(x), т. е. Ln(х) ≈ 2,3026 lgx. Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.

§ 16. Предел функции