Предел числовой последовательности

Можно заметить, что члены последовательности u_n неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность u_n, nєN стремится к пределу 1.

Число α называется пределом последовательности (х_n), если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство

|х_n-α|<ε (15.2)

В этом случае пишут
и говорят, что последовательность {х_n} (или переменная х_n, пробегающая последовательность x₁, x₂, х₃,...) имеет предел, равный числу α (или х_n стремится к α). Говорят также, что последовательность сходится к а.

Коротко определение предела можно записать так:

Пример (15.1):

x_n=f(n) (15.1)

Заметим, что число N зависит от ε. Так, если ε =3/26, то

Поэтому иногда записывают N = N(ε).

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.

Неравенство (15.2) равносильно неравенствам —ε<х_n-a<ε или a-ε<х_n<a+ε,которые показывают, что элемент хn находится в ε-окрестности точки a.

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число a называется пределом последовательности {x_n}, если для любой ε-окресности точки a найдётся натуральное число N, что все значения хn, для которых n>N, попадут в ε-окрестность точки a (см. рис. 109).

Ясно, что чем меньше ε, тем больше число N, но в любом случае внутри ε-окрестности точки a находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность v_n(см.5.1).

Постоянная последовательность х_n=с, n є N имеет предел, равный числу с, т. е. lim с = с. Действительно, для"ε>0 при всех натуральных n выполняется неравенство (15.2). Имеем |x_n-c|=|c-c|=0< ε.

15.3 Предельный переход в неравенствах.

Рассмотрим последовательности {х_n}, {у_n} и {z_n}.

Теорема 15.1.
Если

и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство х_n≤ у_n то a≤b.

(Примем без доказательства.)