П.9.1. Простейшая задача. Разностная аппроксимация второй производной

Рассмотрим простейшую краевую задачу

(9.1)

Введем на отрезке [0,1] равномерную сетку

Попробуем аппроксимировать с помощью значений функции в узлах сетки. Для подбора аппроксимационной формулы воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

.

Разложим и по степеням h

Тогда погрешность аппроксимации выразится следующим образом:

Потребуем, чтобы выполнялись условия

Тогда и аппроксимация второй производной имеет вид

Применяя эту аппроксимацию к задаче (9.1) получим разностную схему для этой задачи

(9.2)

Погрешность аппроксимации этой схемы имеет второй порядок

Разностная схема (9.2) сводится к решению системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей. Такие методы называются трехточечными.

В общем виде такую схему можно записать в стандартной форме:

Эта форма записи называется прогоночным видом трехточечной разностной схемы.