Краевые задачи для ОДУ 2-го порядка. Метод стрельбы

Рассмотрим краевую задачу для уравнения 2-го порядка, разрешенного относительно второй производной:

(8.1)

Будем искать решение этого уравнения на отрезке [0,1]. Любой отрезок [ a,b ] можно привести к этому отрезку с помощью замены переменной

Граничные условия: (8.2)

Сущность метода стрельбы заключается в сведении краевой задачи (8.1)-(8.2) к решению последовательности задач Коши для того же уравнения (8.1) с начальными условиями

(8.3)

Здесь - точка на оси ординат, в которой помещается начало искомой интегральной кривой;

α – угол наклона касательной к интегральной кривой в этой точке.

Считая решение задачи Коши зависящим от параметра α, будем искать такое значение параметра , при котором (т.е. при котором интегральная кривая попадет в точку с координатами (1, μ)). Тогда решение задачи Коши (8.1), (8.3) совпадет с решением краевой задачи (8.1), (8.2). Условие попадания интегральной кривой в точку (1, μ) модно сформулировать в виде нелинейного уравнения относительно неизвестного α:

(8.4)

Уравнение (8.4) отличается от обычных уравнений тем, что функцию F (α) нельзя представить аналитическим выражением, она выражается через решение задачи Коши (8.1), (8.3). Однако для решения задачи (8.4) можно использовать рассмотренные ранее приближенные методы.

Например, при использовании метода деления отрезка пополам поступаем следующим образом:

Находим начальный отрезок , содержащий значение , на концах которого функция F (α) принимает значения разных знаков. Для этого решение задачи Коши должно при x = 1 находится ниже точки μ ₂, а - выше. Далее полагая

снова решаем задачу Коши при и в соответствии с методом деления отрезка пополам отбрасываем один из отрезков или , на котором функция F (α) не меняет знак и т.д. Процесс поиска решения прекращается, если разность двух последовательно найденных значений α меньше некоторого наперед заданного числа.

Название "метод стрельбы" связано с тем, что здесь как бы проводится "пристрелка" решения задачи Коши по углу наклона интегральной кривой в начальной точке отрезка. Этот алгоритм применим, если решение задачи Коши (8.1), (8.3) не слишком чувствительно к изменению α.

Для решения уравнения (8.4) используются и другие методы, например метод Ньютона

(8.5)

Т.к. , то формула (8.5) преобразуется в следующую

(8.6)