Размерность векторного пространства. Базис

Сформулируем понятие, противоположное понятию линейной зависимости векторов. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от нуля. Иными словами, векторы называются линейно независимыми, если равенство

возможно лишь тогда, когда

Пример 7. Выяснить, являются ли векторы

и

линейно зависимыми.

Решение. В соответствии с определением линейной зависимости нужно найти такие числа
и , чтобы

Для этого подставим в последнее равенство координаты векторов и ; тогда

Выполнив в левой части преобразования по правилам действий над векторами, получим

или

Таким образом, вектор

является нулевым и, следовательно, каждая его проекция равна нулю, т.е.

или

Мы получили, что линейная комбинация векторов и может быть нулевой лишь в том случае, если все её коэффициенты равны нулю. Это означает, что данные векторы линейно независимы.

В приведённом примере рассматривались двумерные векторы, лежащие на плоскости. Этот пример показывает, что на плоскости можно построить линейно независимую систему, состоящую из двух векторов.

Докажем, что любая система из трёх ненулевых векторов на плоскости является линейно зависимой. Для этого возьмём на плоскости три произвольных вектора

Спроецируем вектор на направления векторов и , проведя из его конца прямые, параллельные и (рис. 14), и представим вектор в виде

Таким образом, один из данных векторов удалось представить в виде линейной комбинации остальных векторов. Отсюда на основании теоремы 1 предыдущего параграфа вытекает, что векторы

линейно зависимы. Поскольку эти векторы были выбраны произвольно, приходим к выводу, что всякая система из трёх векторов на плоскости является линейно зависимой. То же самое справедливо для системы, состоящей из большего числа двумерных векторов.

Итак, на плоскости можно найти линейно независимую систему из двух, но не большего числа векторов. Свяжем это с тем, что плоскость – это пространство двух измерений, и введём следующее общее понятия размерности любого векторного пространства.

Векторное пространство называется n-мерным, если в нём существует в точности n линейно независимых векторов.

Можно сказать, что векторное пространство, в котором каждый вектор определяется тремя координатами, является трёхмерным; более того, справедлива следующая теорема, которая приведена без доказательства.

Теорема 1. Векторное пространство, каждый вектор которого определяется n координатами, т.е.

имеет размерность n (является n-мерным).

Введём теперь понятие базиса векторного пространства. Базисом n -мерного пространства называется любая система из n независимых векторов этого пространства.

Пример 8. Доказать, что векторы

образуют базис в четырёхмерном пространстве.

Решение. Система векторов образует базис, если: 1) количество векторов равно размерности пространства; 2) эти векторы линейно независимы. Первое требование выполнено, остаётся доказать, что эти векторы линейно независимы. Попытаемся составить из них линейную нулевую комбинацию:

Подставим в это равенство вместо данных векторов их выражения в координатах и преобразуем левую часть:

или

Но вектор является нулевым, когда все его проекции равны нулю, т.е.

Таким образом, из данных векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, у которой хотя бы один коэффициент был отличен от нуля. Поэтому векторы

линейно независимы и, следовательно, образуют базис в четырёхмерном пространстве.

Базис в векторном пространстве играет роль, сходную с ролью системы координат; каждый вектор пространства можно выразить через векторы базиса. Точная формулировка этого положения даётся следующей теоремой, которая также приведена без доказательства.

Теорема 2. Если в векторном пространстве выбран какой-либо базис, то любой вектор этого пространства можно однозначно представить в виде линейной комбинации векторов базиса (такое представление называется разложением вектора по базису).

Пример 9. Разложить вектор

по базису где

Решение. Рассматриваемые векторы принадлежат двумерному пространству: базис в этом пространстве должен состоять из двух векторов. В примере 7 установлено, что векторы

и

линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Запишем разложение вектора по этому базису:

Чтобы найти значения и , подставим в это разложение выражения векторов , и через координаты:

Выполнив преобразования в правой части равенства, получим

или

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат, т.е.

откуда

Следовательно, разложение вектора по базису , имеет вид

Замечание. В каждом векторном пространстве существует бесконечное множество различных базисов и в различных базисах один и тот же вектор имеет различные разложения (подобно тому, как точка имеет различные координаты в различных системах коорднат).