Декартова прямоугольная система координат

Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси (X, Y, Z), на каждой из которых определена декартова координата и введен единый масштаб. Пусть при этом точка О будет общая для всех трех осей как точка их пересечения и назовем ее началом координат. Определим далее для каждой из осей единичный вектор, начало которого находится в точке О: - единичный вектор оси X, - единичный вектор оси Y, - единичный вектор оси Z. Совокупность этих трех векторов называется ортами осей декартовой системы координат или декартовым базисом. Упорядоченную тройку векторов и, соответственно, систему координат, будем называть правой, если поворот от по кратчайшему направлению осуществляется против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов (и система координат) называется левой. Вектор, идущий из начала координат в произвольную точку А называется радиус-вектором точки А и обозначается или . Числовые проекции радиуса-вектора на оси координат называются координатами радиус-вектора. ; ; .

Обычно координаты радиуса-вектора записывают в виде или . По теореме Пифагора . Если обозначить буквами углы наклона вектора к осям X, Y, Z соответственно, то ; ; . Три числа называются направляющими косинусами радиус-вектора . Их можно определить через координаты радиус-вектора:

; ; .

Очевидно, что .

Рассмотрим теперь вектор . Поскольку , то

и аналогично для всех остальных проекций вектора . Тогда можем записать координаты вектора :

,

где - координаты вектора . Они не зависят, как и должно быть, от положения начальной точки вектора . Очевидно, что и остаются в силе все остальные соотношения для направляющих косинусов вектора . В силу связи между проекцией вектора на оси координат и его числовыми проекциями

; ; . Тогда имеем:

.

Представление вектора в виде называется также разложением этого вектора по декартовому базису.

Рассмотрим теперь выражения для линейных операций над векторами, когда эти векторы представлены своими декартовыми координатами. Пусть

.

Поскольку координаты этих векторов являются числовыми проекциями, то на основании изложенных выше свойств числовых проекций можно записать

, .

Нетрудно видеть, что линейные операции над координатами векторов совпадают с линейными операциям для матриц, если рассматривать совокупность координат каждого вектора как матрицу, состоящую из одной строки и трех столбцов (вектор-строка). Поэтому координаты вектора можно представлять как вектор-строку или как вектор-столбец.