Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора

Суммой двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора . Обозначается как (правило треугольника).

Поскольку векторы свободные, то аналогичный результат получается, если начала векторов и совместить, а суммой считать диагональ параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах параллелограмма (правило параллелограмма).

Свойства сложения:

1). (перемес-тительное свойство).

2). (сочетательное свойство). 3). (особая роль нулевого вектора).

4). Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что .

5).

Доказательство. 1). Совместим начала векторов и

и переместительное свойство очевидно. Доказательство свойства 2 следует из следующих построений:

Свойство 3 непосредственно вытекает из свойства 1. Далее, определим вектор , противоположный вектору , имеющий с ним одинаковую длину, но противоположное направление. Очевидно, что это есть вектор .

Тогда их сумма действительно дает нулевой вектор и свойство 4 доказано. Докажем теперь распределительное свойство 5 для двух векторов , где m – вещественное число.

Построим сумму двух векторов. При растяжении и в m раз диагональ параллелограмма в силу свойств подобия растягивается также в m раз, т.е. . Рассмотрим теперь два вектора , и , где m, n - вещественные числа. Эти векторы коллинеарны и тогда, складывая их, имеем или .

Сложение трех и более векторов производится с использованием сочетательного свойства.

Определение. Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Обозначается как . Покажем, что , где - вектор, противоположный вектору . Действительно,

.

Из предыдущего имеем: . Отсюда следует способ построения вектора :

Следствия: 1). Если имеет место равенство , то вектора и коллинеарны. Действительно, . 2). Если имеет место равенство , то векторы компланарны (лежат в одной плоскости). Действительно, или и они лежат в одной плоскости как диагональ параллелограмма и две его стороны.

ЗАДАЧИ

1. По данным векторам и построить векторы:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Векторы и взаимно перпендикулярны, , .

Найти , .

3. В треугольнике АВС заданы векторы и .

Построить векторы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

4. Векторы , служат сторонами треугольника. Определить векторы , , , совпадающие с медианами.

5. В правильном шестиугольнике известно, что , .

Найти , , , .

6. В декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы

, , , .

Вычислить:

а) и координаты орта вектора ; б) направляющие косинусы вектора ;

в) координаты вектора ; г) , , .

7. Вектор образует с осями и углы , и .

Найти угол , который образует вектор с осью , и координаты вектора .