Дифракция Фраунгофера на прямолинейном крае протяженного экрана

Решим теперь задачу о дифракции Фраунгофера на прямолинейном крае протяженного экрана (оптическом ноже). Как и при рассмотрении дифракции Френеля, функцию пропускания экрана t (x) будем представлять в виде единичной функции Хэвисайда 1(x), т.е. будем считать, что Ось Y направлена вдоль края экрана, а ось X – перпендикулярно ему. При такой функции пропускания данная задача математически сводится к одномерному преобразованию Фурье функции 1(x) и последующему умножению результата на const× E ₀, где E ₀ – амплитуда плоской волны, падающей на экран.

Поскольку для распределения поля по экрану

,

преобразование Фурье в обычной форме (7.6)

не может быть применено непосредственно. Это затруднение можно обойти, если вместо t (x) в виде единичной функции Хэвисайда использовать функцию t ₁(x) = где – положительное число, стремящееся к нулю, и в конечном выражении перейти к пределу Так как

то

E′ (x¢) = const E ₀ =

= const E ₀ = const E ₀ = C ₁

где C ₁ – постоянная и учтено, что u = x′ / (λ f). Распределение интенсивности в области x′ < 0

I (x¢, 0) = C ,

где C – постоянная.

Полученное выражение показывает, что при дифракции Фраунгофера на крае протяженного экрана, как и при дифракции Френеля, резкой границы между светом и тенью нет. В области x¢ < 0, где по законам геометрической оптики должна наблюдаться тень, интенсивность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от края экрана. В области же x¢ > 0 затухающие осцилляции интенсивности около значения I ₀, как это имеет место при дифракции Френеля, отсутствуют.

Как и в случае дифракции Френеля, распределение поля в картине при дифракции Фраунгофера на щели можно рассматривать как дифракцию на двух краях протяженных экранов, сближенных на расстояние, равное ширине щели a. (Такая возможность существует в связи с принципом суперпозиции, согласно которому спектр суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих этим функциям спектров.) Функцию пропускания щели, как было показано в п. 5.9, можно представить в виде разности двух единичных функций Хэвисайда, начало одной из которых находится в точке x = – a / 2, а другой – в точке x = = a / 2. Воспользовавшись свойством смещения преобразования Фурье, согласно которому фурье-спектр функций f (x ± d) равен фурье-спектру функции умноженному на фазовые множители а также свойством дельта-функции, согласно которому

f (x) d (x) = f (0) d (x),

получим

1(u, a / 2) = 1(u) exp[ i 2 pu (a / 2)] =

= =

Аналогично находим

1(u, – a / 2) =

С учетом принципа суперпозиции получаем фурье-спектр функции пропускания щели

F{ t (x)} = 1(u, a / 2) – 1(u, – a / 2) =

= .

Умножив это выражение на const× E ₀, получим искомое распределение поля в дифракционной картине при дифракции Фраунгофера на щели.