Преобразование Фурье

Глава 7

ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА

Описание дифракции Фраунгофера как

преобразование Фурье

Используя принцип Гюйгенса – Френеля и принцип суперпозиции, покажем, что распределение поля в дифракционной картине при дифракции Фраунгофера на плоском экране представляет собой преобразование Фурье функции, определяющей распределение поля в плоскости экрана. Возьмем в плоскости XY, совпадающей с плоскостью экрана, некоторую точку М, являющуюся центром элемента поверхности этой плоскости. Этот элемент испускает элементарную волну с комплексной амплитудой В направлении, определяемом направляющими косинусами волна, испущенная из точки М, опережает по фазе на k_xx + k_yy = 2 π (ux + vy) элементарную волну, испущенную из центра отверстия О. По принципу суперпозиции комплексная амплитуда волны в направлении, определяемом указанными направляющими косинусами, пропорциональна сумме этих амплитуд:

(6.)

где – коэффициент пропорциональности; интегрирование проводится по площади отверстия Интеграл в правой части (5.) представляет собой двумерное пространственное преобразование Фурье функции E (x, y). Таким образом, распределение поля в дифракционной картине дифракции Фраунгофера представляет собой двумерное фурье-преобразование поля в плоскости объектного экрана.

Входящие в выражение (6.) пространственные частоты u и v определяются стандартно как отношения косинусов направляющих углов α и β к длине волны λ или как отношения синусов углов φ и θ, допоняющих направляющие до прямых, к длине волны. Однако если учесть, что при малых углах (которые имеют место в фраунгоферовской дифракции)

то пространственные частоты u и v можно найти как

u = x¢ / l z, v = y¢ / l z.

При практическом осуществлении дифракции Фраунгофера, плоскость наблюдения X¢Y¢ помещается в фокальной плоскости линзы F¢. Поэтому в выражениях пространственных частот u и v вместо z следует брать фокусное расстояние линзы f, так что

u = x¢ / l f, v = y¢ / l f.

Таким образом, оптическая система, состоящая из дифракционного элемента (например, отверстия в непрозрачном экране) и большой глубины свободного пространства, с точностью до фазовых и амплитудных множителей осуществляет преобразование Фурье поля в плоскости XY непосредственно за экраном по пространственным частотам

Плоские волны, соответствующие каждой фурье-компоненте, распространяются под различными углами к оси Z. В плоскости X¢Y¢ каждая фурье-компонента дает световое пятно. Расстояние этого светового пятна от оптической оси (оси Z) пропорционально пространственной частоте спектральной составляющей сигнала: x¢ = y¢ = lzv. Следовательно, вблизи оптической оси распространяется световое поле, соответствующее низким пространственным частотам спектра сигнала. Более высоким пространственным частотам соответствуют поля, распространяющиеся под большими углами к оптической оси и дающие световые пятна при больших значениях x¢ и y¢. Чем больше частоты u и v, тем под большими углами распространяются пространственные гармоники. Если сигнал E (x, y) – действительная функция x и y, то спектр его пространственных частот симметричен относительно оси Z. Пространственное разделение волн, дифрагировавших в различных направлениях, позволяет в плоскости X¢Y¢ (на практике – в задней фокальной плоскости линзы, расположенной за объектным экраном) наблюдать отдельные фурье-компоненты распределения поля E (x, y).

Таким образом, при дифракции плоской монохроматической волны на любом плоском объекте в фокальной плоскости линзы происходит разложение функции распределения поля на объектном экране на отдельные гармонические составляющие (пространственные гармоники), каждая из которых может быть охарактеризована своими пространственными частотами (определяющими направление распространения волны) и фазами.

Отождествление фраунгоферовской дифракционной картины с преобразованием Фурье от распределения поля в плоскост экрана приводит к трактовке линзы как устройства, выполняющего преобразования Фурье. По этой причине заднюю фокальную плоскость линзы называют дифракционной плоскостью, фурье-плоскостью (фурье-пространством) или, иначе, плоскостью (областью) частот (пространственных).

В одномерном случае, когда функция распределения поля зависит только от одной переменной x поле в точке(x ′, 0) можно получить с помощью одномерного преобразования Фурье:

E′ (x¢) = , (7.6)

Следовательно, если апертурная распределение поля на объекте описывается функцией одной переменной, то распределение поля в фраунгоферовской дифракционной картине будет описываться одномерным преобразованием Фурье этой функции.

Иногда бывает удобно комплексную амплитуду E ′(x¢, y¢) =

= E′ (ulz, vlz) представить в виде

E ′(x¢, y¢) = C + i S,

где C и S – действительные функции пространственных частот u и v. Тогда, если отверстие симметрично относительно осей X и Y (t (x, y) – четная функция координат x и y), то S = 0, и соотношение (6.5), как легко убедиться (учтя, что Re e^±i𝜑 = cos𝜑), принимает вид

E′ (x¢, y ¢) =

= const . (6.7)

В одномерном случае, когда амплитудное пропускание является функцией одной переменной (x),

E (x¢) = const . (6.8)

Интенсивность в этом случае определяется обычным способом:

а при несимметричной функции t (x, y) – по формуле

I (x¢, y¢) =

Таким образом, при дифракции плоской монохроматической волны на любом плоском прозрачном объекте (например, слайде) в фокальной плоскости линзы происходит разложение функции, описывающей распределение поля по объекту, на отдельные гармонические составляющие (пространственные гармоники), каждая из которых может быть охарактеризована направлением, т.е. пространственными частотами u и v, амплитудой и фазой. Если такой объект поместить в в пучок параллельных лучей монохроматического света, который после дифракции на объекте собирается с помощью линзы в ее задней фокальной плоскости, то в этой плоскости можно получить распределение поля, которое будет соответствовать распределению пространственных частот поля объекта. Дифракционная картина, создаваемая объектом, будет представлять собой проявление, почти физическое воплощение, тех гармоник, котрые составляют распределение поля по объекту.