Формула Тейлора функции одной действительной переменной и ее остаточный член в разных формах. Ряд тейлора. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций

Предположим, что функция имеет все производные до -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку .Найдем многочлен степени не выше , значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до -го порядка в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке:

.

Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням с неопределенными коэффициентами:

. (*)

Далее находим производные от . Подставляя в левые и правые части этих производных вместо значение и заменяя через , через и т.д., получим

.

Откуда находим неизвестные коэффициенты ,и подставляя их в формулу (*), получим искомый многочлен

.

Обозначим через разность значений данной функции и построенного многочлена : , откуда , или в развернутом виде

.

Таким образом мы получили формулу Тейлора функции одной действительной переменной. называется остаточным членом.