Тригонометрический ряд фурье

Опр.1 Ряд вида

(1)

называется тригонометрическим рядом.

Его частичные суммы являются линейными комбинациями функций, входящих в систему

cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nx, sin nx, …. (2)

Опр.2 Множество функций (2) называется тригонометрической системой.

Лемма 1. Тригонометрическая система (2) обладает свойствами:

1) ортогональность, т.е. интеграл по отрезку [-π, π] от произведения двух различных функций, входящих в нее, равен нулю

(3)

2) (4)

Теорема 1. Пусть (5)

и ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится равномерно на отрезке [-π, π]. Тогда

,

, n =1,2, …. (6)

Опр.3 Пусть функция f абсолютно интегрируема на отрезке [-π, π]. Тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого задаются формулами (6), называется тригонометрическим рядом Фурье, а числа a_n и b_n – коэффициентами Фурье функции f.

Теорему 1 в этих терминах можно перефразировать следующим образом:

всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы.

Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье единственно.