Тема 1.10. Ряды динамики и их классификация. Показатели рядов динамики. Средние показатели рядов динамики

Изменения социально-экономических явлений во времени изучается при помощи построения и анализа рядов динамики.

Ряд динамики – это числовые значения статистического показателя, представленные во временной последовательности.

Ряд динамики состоит из двух граф: в первой - указываются периоды или даты, во второй - показатели характеризующие изучаемый объект за эти периоды (или на эти даты). Показатели второй графы называются уровнем ряда. Первый показатель – называется начальным уровнем, последующий – конечным.

Уровни ряда могут быть выражены абсолютными, относительными и средними величинами.

Ряды динамики относительных и средних величин строятся на основе рядов абсолютных величин.

Ряды динамики могут быть двух видов:

● интервальные

● моментные

В интервальном ряду приводятся данные, характеризующие величину показателя за определенный период (сутки, месяц, квартал, год и т.д.)

Особенность интервальных рядов состоит в том, что их уровни можно суммировать, получая новые числовые значения объема явления, относящиеся к более длительным периодам.

В моментном ряду динамики приводятся данные характеризующие размеры явления на определенные моменты (даты) времени.

Уровни моментных явлений суммировать нельзя, сумма не имеет смысла, т.к. каждый последующий уровень полностью или частично включает в себя предыдущий уровень.

Однако разность уровней имеет смысл, характеризуя увеличение или уменьшение уровня ряда между датами учета.

Пример 1: Имеются данные о выпуске книг и брошюр в Р.Ф. (тыс. печатных единиц).

Годы
Тыс. печ.ед.	41,2	34,0	28,7	29,0	30,4

Это интервальный ряд динамики абсолютных величин. Его уровни характеризуют суммарный итог выпуска книг и брошюр за четко определенный отрезок времени (за каждый год).

Уровни интервального ряда динамики могут быть суммированы, т.к. не содержат повторного счета.

Уровни ряда динамики должны быть сопоставимы с точки зрения единиц измерения, объекта и единицы наблюдения, методологии расчета изучаемого показателя, территории, к которой относится показатель, продолжительности периодов, к которым относятся уровни ряда.

Показатели ряда динамики

Для изучения интенсивности изменения уровней ряда во времени исчисляются следующие показатели динамики:

aАбсолютный прирост

aКоэффициент роста

aТемп роста

aТемп прироста

aАбсолютные значения 1% прироста

Эти показатели можно исчислять с переменной и постоянной базой.

Если производится сравнение каждого уровня с предыдущим уровнем, то получаются показатели динамики с переменной базой (цепные показатели динамики).

Если каждый уровень сравнивается с начальным уровнем или каким-то другим, принятым за базу сравнения, то получаются показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели динамики)

Методы расчета показателей динамики одинаковы для моментных и интервальных рядов.

Условные обозначения:

Y_i – уровень любого периода (кроме первого) называемый уровнем текущего периода.

Y _i-1 – уровень периода предшествующего текущему.

Y_k – уровень принятый за постоянную базу сравнения (начальный уровень).

Наименование показателя	Метод расчета
С переменной базой (цепные)	С постоянной базой (базисные)
1. Абсолютный прирост (∆)	∆= Yi – Y i-1	∆’ =Yi - Yk
2. Коэффициент роста (Кр)	Kp=Yi / Y i-1	Kp’=Yi/Yk
3. Темп роста (Тр) %	Tp= Кp-100	Tp’=Kp’-100
4. Темп прироста (Тn) %	Tn=(Кp-1)·100 Tn=Tp-100 Tn=(∆ / Y i-1)·100%	Tn’=(Kp’-1)·100 Tn’=Tp’-100 Tn’=(∆’ / Yk)·100
5. Абсолютное значение 1% прироста (А)	A=∆ / Tn A=Y i-1 / 100	A’=∆’ / Tn’ A’=Yk /100

Для характеристики интенсивности развития за длительный период рассчитываются средние показатели динамики.

Средние показатели динамики

Условные обозначения:

Y1, Y2, … Yn – все уровни последовательных периодов;

n – число уровней ряда;

t – продолжительность периода, в течение которого уровень не изменялся;

Наименование показателя	Метод расчета
1. Средний уровень ряда y а) для интервального ряда	Y=Σ y / n
б) для моментального ряда с равными интервалами.	Y = (½Y1 + Y2 + …Yn-1 + ½ Yn) / n-1
в) для моментального ряда с неравными интервалами	Y= Σ Y·t / Σ t
2.Средний абсолютный прирост ∆	∆=Σ ∆ / n-1 ∆= Yn-Y1 / n-1
3.Средний коэффициент роста Кр	Kp= n-1√Kp1 · Kp2 · … · Kpn-1 Kp= n-1√Yn / Y1
4.Средний темп роста Тр %	Tp = Kp·100%
5.Средний темп прироста Тn %	Tn = Tp –100% Tn = (Kp-1)·100%
6.Среднее абсолютное значение 1% прироста А	А= ∆ / Тn

Пример 2. Проанализируем следующий ряд динамики, отражающий поступления выручки зрелищных предприятий города в отделение банка за четыре года (млн. руб.).

Показатель	Годы
Поступления выручки зрелищных предприятий, млн. руб.	192,8	196,5	203,1	206,8

Рассчитаем средний уровень данного интервального ряда динамики по формуле:

,

где y ₁, y ₂, ¼, y_n – уровни ряда;

n – число уровней ряда.

Основными показателями, характеризующими изменение уровней ряда динамики, являются абсолютные приросты, темпы роста и прироста. При этом различают цепные, базисные и средние показатели. Проведем их расчет.

1. Цепные абсолютные приросты (D _{i ц}):

для второго года D_{1 ц} = 196,5 – 192,8 = 3,7 млн. руб.,

для третьего года D_{2 ц} = 203,3 – 196,5 = 6,6 млн. руб.,

для четвертого года D _{3 ц} = 206,6 – 203,1 = 3,5 млн. руб.

2. Базисные абсолютные приросты (D _{i б}):

(если первый уровень ряда принят в качестве базисного)

для второго года D_{1 б} = 196,5 – 192,8 = 3,7 млн. руб.,

для третьего года D_{2 б} = 203,3 – 192,8 =10,3 млн. руб.,

для четвертого года D_{3 б} = 206,6 – 192,8 =13,8 млн. руб.

3. Средний абсолютный прирост ( ):

(в среднем ежегодно выручка зрелищных предприятий города увеличивалась на 4,6 млн. руб.).

Этот показатель можно рассчитать иначе:

,

где m – число цепных абсолютных приростов (m = n – 1).

4. Цепные темпы роста:

для второго года ,

для третьего года ,

для четвертого года .

5. Базисные темпы роста:

,

(если первый уровень ряда принят в качестве базисного).

для второго года ,

для третьего года ,

для четвертого года .

6. Средний темп роста:

или

(в среднем ежегодно выручка зрелищных предприятий города увеличивалась в 1,023 раза).

7. Цепные темпы прироста:

,

для второго года ,

для третьего года ,

для четвертого года .

8. Базисные темпы прироста:

,

для второго года ,

для третьего года ,

для четвертого года .

9. Абсолютное значение одного процента прироста:

,

для второго года .,

для третьего года .,

для четвертого года .

Для выявления основной тенденции развития изучаемого явления во времени применяются следующие методы преобразования динамических рядов:

- механическое сглаживание по скользящим средним;

- аналитическое выравнивание.

Пример 3. Пусть известно распределение поступлений выручки зрелищных предприятий города за рассматриваемый период по месяцам каждого года. Проведем механическое сглаживание ряда способом скользящей средней по трем членам.

Исходные данные	Расчетные данные
Месяц	Поступления выручки зрелищных предприятий города, млн. руб.	Скользящая сумма трех членов	Скользящая средняя (расчетные уровни ряда)
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	18,4 15,2 17,2 14,9 16,8 18,5 17,7 17,9 16,9 16,3 17,9 19,0	– 50,8 47,3 48,9 50,2 53,0 54,1 53,5 52,5 51,1 53,2 –	– 16,9 15,8 16,3 16,7 17,7 18,0 17,5 17,5 17,0 17,7 –

Рассмотрим теперь метод аналитического выравнивания по прямой для выявления тенденции изменения поступления выручки зрелищных предприятий города. В отличие от предыдущего способа выравнивания ряда динамики, метод аналитического выравнивания позволяет получить математическое выражение закономерности развития явления. Для выравнивания ряда по прямой используют уравнение , параметры которого и находятся путем решения системы нормальных линейных уравнений:

Для упрощения расчетов показателям времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю (å t = 0). В этом случае система уравнений примет вид:

отсюда

Проведем расчет необходимых промежуточных показателей для нашего примера.

Месяц	Условное обозначение времени t	Поступления выручки зрелищных предприятий города, млн руб. y	t 2	yt
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	–11 –9 –7 –5 –3 –1 +1 +3 +5 +7 +9 +11	18,4 15,2 17,2 14,9 16,8 18,5 17,7 17,9 16,9 16,3 17,9 19,0		–202,4 –136,8 –120,4 –74,5 –50,4 –18,5 +17,7 +53,7 +84,5 +114,1 +161,9 +209,0
Итого:	å t = 0	å y = 206,7	å t 2 = 572	å yt = 37,1

Определим параметры уравнения:

Таким образом, получаем следующее математическое выражение общей тенденции ряда динамики:

.

Подставляя в это уравнение принятые обозначения времени t, определим выровненные уровни ряда динамики:

Месяц	Условное обозна-чение времени t	Поступления выручки зре-лищных пред-приятий города, млн руб. y
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	–11 –9 –7 –5 –3 –1 +1 +3 +5 +7 +9 +11	18,4 15,2 17,2 14,9 16,8 18,5 17,7 17,9 16,9 16,3 17,9 19,0	16,6 16,6 16,7 16,9 17,0 17,1 17,3 17,4 17,5 17,7 17,8 17,9

Используя это уравнение, можно провести экстраполяцию ряда динамики. Например, определим предполагаемое поступление выручки в отделения банка в январе следующего года.

Одна из важнейших задач при анализе рядов динамики – измерение "сезонной волны". Для количественной оценки сезонных колебаний тех или иных показателей используются индексы сезонности. Дополним наш пример месячными данными за первые три года. Прежде всего для каждого месяца i исчисляется средний уровень по данным за несколько лет. Индексы сезонности определяются, как процентное отношение этих среднемесячных уровней к общему среднему уровню , исчисленному для всего ряда динамики в целом:

.

Исходные данные и результаты расчетов приведены в следующей таблице:

Месяц	Поступления выручки зрелищных предприятий, млн. руб.	Индексы сезонности
1-й год	2-й год	3-й год	4-й год	в среднем за 4 года
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	17,2 16,1 16,4 15,6 15,8 15,5 15,1 15,8 15,0 15,5 16,8 18,0	17,5 16,6 16,7 16,0 16,0 15,6 15,6 16,0 15,3 15,8 17,0 18,4	17,3 16,2 16,3 16,8 16,0 18,3 17,1 16,6 15,5 16,4 17,9 18,7	18,4 15,2 17,2 14,9 16,8 18,5 17,7 17,9 16,9 16,3 17,9 19,0	17,6 16,0 16,6 15,8 16,1 17,0 16,4 16,6 15,7 16,0 17,4 19,5	106,0 96,4 100,0 95,2 97,0 102,4 98,8 100,0 94,6 96,4 104,8 111,4
Средний уровень ряда	16,1	16,4	16,9	17,2	16,6

Мы рассмотрели интервальный ряд динамики. В моментных рядах динамики средний уровень ряда рассчитывается иначе. Пусть имеются следующие данные о численности населения города, тыс. чел.:

на 1 января 2006 г. на 1 апреля 2006 г. на 1 июля 2006 г. на 1 сентября 2006 г. на 1 января 2007 г.

500,0, 500,2, 500,6, 500,8, 500,9.

Приближенную оценку средней численности населения города можно получить, используя только данные о численности населения на начало и конец года.

тыс. чел.

Более точную оценку средней численности населения мы получим, если будем использовать все имеющиеся данные. Поскольку промежутки времени между соседними датами равны, воспользуемся формулой средней хронологической простой:

тыс. чел.

В моментных рядах динамики с неравными интервалами средний уровень исчисляется по формуле средней хронологической взвешенной:

,

где t_i – длина периода между двумя соседними датами, к которым относятся уровни y_i и y_{i+ 1}.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение ряда динамики социально-экономических явлений.

2. Какие вы знаете виды рядов динамики?

3. Как проводится расчет среднего уровня в рядах динамики?

4. Какие показатели изменения уровней рядов динамики вы знаете?

5. Для каких целей и какими методами проводится выравнивание рядов динамики?

6. С помощью, каких методов может проводиться прогнозирование социально-экономических явлений?

7. Какие методы статистического изучения сезонных колебаний вы знаете?

8. Укажите, к какому виду относятся ряды, характеризующие динамику следующих показателей:

1) затраты на мероприятия по охране труда по годам;

2) численность рабочих и служащих отрасли по состоянию на начало каждого квартала;

3) стоимость производственных фондов предприятия по состоянию на начало каждого месяца;

4) ввод в действие жилых домов по кварталам года;

5) поставки тракторов сельскому хозяйству по годам;

6) средняя месячная заработная плата рабочих и служащих в народном хозяйстве по месяцам года;

7) урожайность сельскохозяйственных культур по годам;

8) производство продукции на душу населения по годам;

9) средний размер вкладов в отделениях банка по состоянию на конец каждого месяца;

10) ежедневный объем поставок продукции;

11) ежедневный остаток товаров в магазине.