Тема 1.9. Показатели вариации и их значение в статистике

Средняя величина представляет собой статистическую характеристику совокупности изучаемых фактов, типический уровень признака, которым обладают члены изучаемой совокупности. Однако этого показателя не достаточно для того, чтобы описать все черты статистического распределения.

Например, на сравниваемых предприятиях, близких по условиям труда, производительность в среднем для всех работников может быть приблизительно одинаковой, но на одном предприятии имеются передовые работники с высокой производительностью и отстающие – с низкой производительностью, а на другом почти все работники группируются по производительности около средней величины. В средней эти отличия погашаются. Поэтому, наряду с вычислением средней величины при сравнении статистических совокупностей, встает вопрос об оценке вариации значений признака в этом распределении.

Вариацией называется изменчивость значений признака у единиц однородной совокупности, которые обусловлены влиянием действия совокупности различных факторов.

Для оценки вариации используются абсолютные и относительные показатели вариации. Показатели вариации рассчитываются для статистических совокупностей, упорядоченных путем группировок, классификаций, построения рядов распределений.

Абсолютные показатели вариации – это размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

1.Размах вариации. (R)

является наиболее простым измерителем вариации признака.

R=Xmax-Xmin

где Xmax – наибольшее значение варьирующего признака;

Xmin – наименьшее значение признака.

2. Среднее линейное отклонение. (d)

представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической взвешенной и не взвешенной.

Σ | Xi-X |

L = ----------------- не взвешенное среднее линейное отклонение

n

n- число вариантов

Σ | Xi-X | fi

L = -------------------- взвешенное среднее линейное отклонение.

Σ fi

3. Дисперсия. (σ²)

Представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Дисперсия вычисляется по формуле простой взвешенной и не взвешенной дисперсии:

Не взвешенная дисперсия:

Σ (Xi-X)²

σ² = --------------

n

Взвешенная дисперсия:

Σ (Xi-X)² · fi

σ²= ---------------

Σ fi

4. Среднее квадратическое отклонение.(σ)

Представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней.

Не взвешенное среднее квадратическое отклонение:

σ=√Σ (Xi-X)² / Σ n

Взвешенное среднее квадратическое отклонение:

σ=√Σ (Xi-X)² · fi / Σfi

Относительные показатели вариации вычисляются как отношения абсолютных показателей вариации к средней арифметической, выражается в процентах.

1.Коэффициент осциляции. (V_R).

R

V_R=---------- * 100%

X

2. Линейный коэффициент вариации (Относительное линейное отклонение).(V _d)

L

V _L = --------*100%

X

3.Коэффициент вариации. (Vσ)

σ

Vσ= ------*100%

X

Пример. Размах вариации определяется как разность между наибольшим и наименьшим значением признака.

Для расчетов показателей вариации используем данные о величине товарооборота по продаже обуви в городских и сельских магазинах (табл. 1).

Таблица 1.

Наблюдение	Товарооборот, тыс. руб.	| x 1 – x 1|	| x 2 – x 2|	(x 1 – x 1)2	(x 2 – x 2)2
в городских магазинах	в сельских магазинах
	519,4	14,2	372,8	11,2	138979,84	125,44
	37,2	10,8	109,4	14,6	11968,86	213,16
	53,2	41,8	93,4	16,4	8723,56	268,96
	161,4	4,8	14,8	20,6	219,04	424,36
	161,4	23,6	14,8	1,8	219,04	3,24
	179,0	15,8	32,4	9,6	1049,76	92,16
	79,0	14,0	67,6	11,4	4569,76	129,96
	101,8	65,2	44,8	19,4	2007,04	376,36
	115,6	46,6	31,0	21,2	961,00	449,44
	58,4	16,8	88,2	8,6	7779,24	73,96
S	1466,4	253,6	869,2	134,8	176476,64	2157,04

В нашем примере:

R₁ = = 519,4 – 37,2 = 482,2 тыс. руб.,

R₂ = 65,2 – 4,8 = 60,4 тыс. руб.

Вариация величины товарооборота (R) сельских магазинов значительно ниже городских. Величина размаха вариации зависит исключительно от крайних значений признака. Она не отражает колеблемости признака у основной массы единиц совокупности.

Указанного выше недостатка лишены такие показатели вариации, как среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, которые представляют собой средние показатели, полученные из отклонений индивидуальных значений признака от их среднего.

Среднее линейное отклонение ( ) – средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов признаков от их средних и рассчитывается по формуле:

.

Простое среднее линейное отклонение вычисляется в случае, когда каждый вариант повторяется один раз, а расчет взвешенного среднего линейного отклонения производится на основе вариационного ряда с неравными частотами.

Для расчета среднего линейного отклонения необходимо вычислить средние по приведенным рядам (см. табл. 1):

для первого ряда = = 146,6 тыс. руб.

для второго ряда = = 25,4 тыс. руб.

Находим абсолютную величину отклонений конкретных значений признаков от средних и ее среднее значение (см. гр. 4 и 5 табл. 1).

= = 86,9 тыс. руб.

= = 13,5 тыс. руб.

Как показатель размаха вариации, так и среднее линейное отклонение в магазинах города выше, чем в сельских магазинах.

Дисперсией называется средняя арифметическая квадратов отклонений конкретных значений варьирующего признака от его средней арифметической.

Расчет дисперсии (s) осуществляется по формулам:

– простая,

– взвешенная

или, используя свойства дисперсии: .

Для нашего примера дисперсия равна

= = 17647,7 тыс. руб.

= = 215,7 тыс. руб.

Среднее квадратичное отклонение – это корень квадратный из дисперсии. Расчет среднего квадратичного отклонения осуществляется по формулам:

– простое,

– взвешенное.

Для нашего примера среднее квадратичное отклонение равно:

= 17647,7 = 132,8 тыс. руб.,

= 215,7 = 12,7 тыс. руб.

Абсолютные показатели вариации выражаются в тех же единицах измерения, что и средняя арифметическая вариационного ряда.

Относительные показатели вариации, в отличие от абсолютных, характеризуют колеблемость изучаемого признака в виде отношения (в процентах) абсолютного показателя вариации к средней арифметической.

Используя абсолютные показатели, мы можем получить следующие относительные показатели вариации:

Коэффициент осцилляции – V_R = .

Относительное линейное отклонение – V_L = .

Коэффициент вариации – .

Для нашего примера:

V_R = 328,9%; V_R = 237,8%;

V_L = 59,3%; V_L = 53,1%;

= 90,6%; = 57,9%.

Дисперсия альтернативного признака. Наряду с признаками, которые присущи всем единицам изучаемого явления в количественном выражении (например, заработная плата рабочих), статистика изучает и такие признаки, которыми одни единицы обладают, а другие нет (например, высшее образование, наличие ученой степени). Такие признаки называются альтернативными, или альтернативно варьирующими.

Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком – q, на долю единиц, не обладающих им – р (p + q = 1).

Соответственно среднее квадратичное отклонение равно .

Контрольные вопросы:

1. Вариация признаков и ее сущность.

2. Абсолютные показатели вариации.

3. Свойства дисперсии. Расчет дисперсии способом моментов.

4. Относительные показатели вариации.

5. Использование показателей вариации в статистическом анализе.

6. Определите предельные значения дисперсии альтернативного признака.