Вынужденные колебания при наличии трения

Исследование вынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному в п. 1.2 вынужденные колебания. Мы остановимся здесь подробно на представляющем самостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы.

Прибавив в правой стороне уравнения (4.1) внешнюю силу f cos yt и разделив на т, получим уравнение движения в виде

(5.1)

Решение этого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правой части e^iγt вместо cos yt:

Частный интеграл ищем в виде x = B e^iγt и находим для В:

(5.2)

Представив В в виде be^iδ, имеем для b и δ:

(5.3)

Наконец, отделив вещественную часть от выражения Be^iγt = be^{i (γt+δ)}, получим частный интеграл уравнения (5.1), а прибавив к нему общее решение уравнения без правой части (которое мы напишем для определенности для случая ω0>λ), получим окончательно:

х = ае^-λt cos (ω t+ a) + b cos (γ t + δ). (5.4)

Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член:

x = b cos (γ t + δ). (5.5)

Выражение (5.3) для амплитуды b вынужденного колебания хотя и возрастает при приближении частоты γ к ω₀, но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсутствие трения. При заданной амплитуде силы f амплитуда колебания максимальна при частоте

при λ<<<ω₀ это значение отличается от ω₀ лишь на величину второго порядка малости.

Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим γ= ω₀ + ε, где ε — малая величина; будем также считать, что λ<<ω ₀. Тогда в (5.2) можно приближенно заменить:

так что

(5.6)

или

(5.7)

Отметим характерную особенность хода изменения разности фаз δ между колебанием и вынуждающей силой при изменении частоты последней. Эта разность всегда отрицательна, т. е. колебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали от резонанса, со стороны γ< ω₀, δ стремится к нулю, а со стороны γ > ω0 — к значению — π. Изменение δ от нуля до — π происходит в узкой (ширины ~ λ) области частот, близких к ω0; через значение -π/2 разность фаз проходит при γ = ω0. Отметим в этой связи, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденного колебания на величину π происходит скачком при γ = ω0 (второй член в (2.4) меняет знак); учет трения «размазывает» этот скачок.

При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания (5.5), ее энергия остается неизменной. В то же время система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая диссипируется благодаря наличию трения. Обозначим посредством I (γ)количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функцию частоты внешней силы. Согласно (4.13) имеем: I (γ) = 2 F,

где F — среднее (по периоду колебания) значение диссипативной функции. Для одномерного движения выражение (4.11) диссипативной функции сводится к

Подставив сюда (5.5), получим:

Среднее по времени значение квадрата синуса равно ½, поэтому

I(γ) = λmb²γ². (5.8)

Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебания из (5.7), имеем:

(5.9)

Такой вид зависимости поглощения от частоты называется дисперсионным. Полушириной резонансной кривой (рис. 1)

называют значение |ε|, при котором величина I (ε) уменьшается вдвое по сравнению с ее максимальным значением при ε = 0.Из формулы (5.9) видно, что в данном случае эта полуширина совпадает с показателем затухания λ. Высота же максимума

I (0) = f ² / 4mλ

обратно пропорциональна λ. Таким образом, при уменьшении показателя затухания резонансная кривая становится уже и выше, т. е. ее максимум становится более острым. Площадь же под резонансной кривой остается при этом неизменной. Последняя дается интегралом

Поскольку I (ε) быстро убывает при увеличении |ε|, так что область больших |ε| все равно не существенна, можно при интегрировании писать I (ε) в виде (5.9), а нижний предел заменить на — ∞. Тогда

(5.10)

Заключение

Колебание — более или менее регулярно повторяющийся процесс.Таково очень нестрогое, «качественное» определение понятия «колебание». Можно привести множество примеров колебательных процессов, относящихся к различным областям физики (и не только физики). Колеблется маятник часов; колеблется груз, подвешенный на пружине. Колеблется взволнованная поверхность воды и гитарная струна. Колеблется заряд на пластинах конденсатора и магнитное поле в катушке индуктивности колебательного контура; периодически изменяется температура воздуха (зимой холоднее — летом теплее) и количество автомобилей на улицах города (больше в часы пик — меньше поздней ночью). Периодически меняется экономическая ситуация в жизни общества: кризисные явления сменяются подъемом экономики. Колеблется давление (или плотность воздуха), вызывая колебания ушной мембраны — и мы слышим голос певца на оперной сцене. Таких примеров можно привести как угодно много. Ознакомились с колебаниями в той или иной физической системе. Здесь же познакомились с наиболее часто встречающимися простейшими видами колебательных движений, основными характеристиками колебательных процессов, с математическим способом описания колебаний.

В результате проделанной работы было рассмотрено следующее:

― свободные одномерные колебания;

― вынужденные колебания;

― колебания систем со многими степенями свободы;

― затухающие колебания;

― вынужденные колебания при наличии трения.

Список использованной литературы:

1. Ландау Л.Д., Лифшнц Е.М. Теоретическая физика:Учеб. пособие. — Т.I. Механика. — 4-е изд., испр. — М.: Наука. 1988.— 216 с.

2. Кингсеп А.С, Локшин Г.Р., Ольхов О.А. Основы физики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 1. Механика, электричество и магнетизм, колебания и волны, волновая оптика — М.: ФИЗИАТЛИТ, 2001. ― 560 с.

3. Матвеев А.Н., Механика и теория относительности: Учеб. для студентов вузов / А.Н. Матвеев. — 3-е изд. — М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: 000 «Издательство «Мир и Образование», 2003. — 432 с.

4. И.В.Савельев, Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. М.: Издательство «Наука», 1970г.― 517с.

5. Зоммерфельд А., Механика. ― Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ― 368 с.