Затухающие колебания

До сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или что влиянием среды на движение можно пренебречь. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется.

Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом, а его рассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела. В частности, уже нельзя утверждать в общем случае, что ускорение движущегося тела является функцией лишь от его координат и скорости в данный момент времени, т. е. не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике. Таким образом, задача о движении тела в среде уже не является задачей механики.

Существует, однако, определенная категория явлений, когда движение в среде может быть приближенно описано с помощью механических уравнений движения путем введения в них некоторых дополнительных членов. Сюда относятся колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде. При выполнении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая (для заданной однородной среды) только от его скорости.

Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по ее степеням. Нулевой член разложения равен нулю, поскольку на неподвижное тело не действует никакой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционален скорости. Таким образом, обобщенную силу трения fтр, действующую на систему, совершающую одномерные малые колебания с обобщенной координатой х, можно написать в виде

где а — положительный коэффициент, а знак минус показывает, что сила действует в сторону, противоположную скорости. Добавляя эту силу в правую сторону уравнения движения, получим:

(4.1)

Разделим его на m и введем обозначения

(4.2)

ω₀ есть частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Величина λназывается коэффициентом затухания. Таким образом, имеем уравнение

(4.3)

Следуя общим правилам решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, полагаем х — e^rt и находим характеристическое уравнение

Общее решение уравнения (4.3) есть

Здесь следует различать два случая.

Если λ < ω0, то мы имеем два комплексно сопряженных значения r. Общее решение уравнения движения может быть представлено в этом случае, как

где А — произвольная комплексная постоянная. Иначе можно написать:

(4.4)

где а и α— вещественные постоянные. Выражаемое этими формулами движение представляет собой так называемые затухающие колебания. Его можно рассматривать как гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем λ, а “частота’’ ω колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствие трения; при λ<<ω0 разница между ω и ω0— второго порядка малости. Уменьшение частоты при трении следовало ожидать заранее, поскольку трение вообще задерживает движение.

Если λ<<ω0, то за время одного периода 2π/ω амплитуда затухающего колебания почти не меняется. В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая при усреднении изменением множителя е^-λt. Эти средние квадраты, очевидно, пропорциональны е^-2λt. Поэтому и энергия системы в среднем убывает по закону

(4.5)

где Е0 — начальное значение энергии.

Пусть теперь λ > ω0. Тогда оба значения r вещественны, причем оба отрицательны. Общий вид решения

(4.6)

Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании |x|, т. е. в асимптотическом (при t → ∞) приближении к положению равновесия. Этот тип движения называют апериодическим затуханием.

Наконец, в особом случае, когда λ = ω0, характеристическое уравнение имеет всего один (двойной) корень r = ― λ. Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид

(4.7)

Это — особый случай апериодического затухания, Оно тоже не имеет колебательного характера.

Для системы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам xi, являются линейными функциями скоростей вида

(4.8)

Из чисто механических соображений нельзя сделать никаких заключений о свойствах симметрии коэффициентов аik по индексам i и k. Методами же статистической физики можно показать, что всегда

aik = a ki. (4.9)

Поэтому выражения (4.8) могут быть написаны в виде производных

(4.10)

от квадратичной формы

(4.11)

называемой диссипативной функцией.

Силы (4.10) должны быть добавлены к правой стороне уравнений Лагранжа

(4.12)

Диссипативная функция имеет сама по себе важный физический смысл — ею определяется интенсивность диссипации энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии системы. Имеем:

Поскольку F — квадратичная функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой стороне равенства равна 2F. Таким образом,

(4.13)

т е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией. Так как диссипативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда F > 0, т. е. квадратичная форма (4.11) существенно положительна.

Уравнения малых колебаний при наличии трения получаются добавлением сил (4.8) в правую сторону уравнений (3.5):

(4.14)

Положив в этих уравнениях

x_k = A_ke^rt,

получим по сокращении на e^rt систему линейных алгебраических уравнений для постоянных Ak

(4.15)

Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характеристическое уравнение, определяющее значения r:

(4.16)

Это — уравнение степени 2s относительно r. Поскольку все его коэффициенты вещественны, то его корни либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены. При этом вещественные корни непременно отрицательны, а комплексные имеют отрицательную вещественную часть. В противном случае координаты и скорости, а с ними и энергия системы экспоненциально возрастали бы со временем, между тем как наличие диссипативных сил должно приводить к уменьшению энергии.