Свойства тройного интеграла

1. Линейность
а) = +

б) =
Эти свойства, как и для двойного интеграла, доказываются «через интегральные суммы». Составляют интегральную сумму для интегралов, стоящих в левой части равенства, в ней делают нужную операцию (это возможно, т.к. число слагаемых конечно) и получают интегральные суммы для интегралов в правой части. Затем, по теореме о предельном переходе в равенстве, переходят к пределу, и свойство доказано.

2. Аддитивность (по множеству)
= +

Доказательство проводится, как и ранее, через интегральные суммы с использованием замечания к теореме существования.

Разбиение выбирается и измельчается так, чтобы граница областей V, W состояла из границ элементов разбиения (это можно сделать, учитывая замечание). Тогда интегральная сумма для интеграла в левой части равенства равна сумме двух интегральных сумм, каждая для своего для интеграла в правой части равенства. Переходя к пределу в равенстве, получаем требуемое соотношение.

3. , где – объем области V.
Интегральная сумма для интеграла в левой части =

4. Если f(x, y, z) ³g(x, y, z), то ³ .
Переходя к пределу в неравенстве ³ (по теореме о переходе к пределу в неравенстве), получим требуемое соотношение.
Следствие. Если f(x, y, z) ³0, то ³0.

5. Теорема об оценке интеграла. Если m £f(x, y, z) £M, то mV£ £MV.
Интегрируя неравенство m £f(x, y, z) £M, по свойству 4 получим требуемое неравенство.

6. Теорема о среднем. Пусть выполнены требования теоремы существования. Тогда
Существует точка С в области V, такая, что f(C) = .

Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на получим . Но число заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .