Теорема. Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей Dxy и Duv с помощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функций 
. Пусть функция f(x,y) непрерывна в области Dxy. Тогда
, где 
- якобиан (определитель Якоби).
Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q1, Q3, Q4, Q2 – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении - ячейку P1, P3, P4, P2.
          
| Запишем координаты точек
Q1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv),
|
Приближенно будем считать ячейку P3, P4, P1, P2.параллелограммом, образованным сторонами 
. Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.
.
Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим 
.
Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную систему координат 
: 
. 
.
Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды 
.
.
Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра 
, ограниченный плоскостью 
в первом октанте.
.
Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.
